Determine o domínio da função f, sendo: g) f(x)=sumn=2^infty(-1)^n+1 x^nn(ln n)^2

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma função definida por uma série infinita:
f(x) = sumn=2^infty (-1)^n+1 x^nn (ln n)^2
O objetivo é determinar o domínio dessa função, ou seja, descobrir para quais valores de essa série converge. Para isso, vamos precisar usar conceitos de convergência de séries e especificamente analisar o comportamento dessa série para diferentes valores de .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de série que estamos lidando. A série dada é uma série alternada devido ao termo an = x^nn (ln n)^2 . Além disso, o termo geral é:
Para analisar a convergência, vamos utilizar o Teste da Convergência Absoluta e, quando necessário, o Teste da Convergência Condicional das Séries Alternadas.

Passo 3

Vamos começar verificando a convergência absoluta da série. Isso significa que vamos analisar a série dos valores absolutos dos termos:
sumn=2^infty | x^nn (ln n)^2 | = sumn=2^infty |x|^nn (ln n)^2
Essa é uma série de termos positivos, e para determinar sua convergência, podemos usar o Teste da Raiz ou o Teste da Comparação. Observando o termo sumn=2^infty 1n (ln n)^2 , percebemos que ela se assemelha a uma série geométrica quando integral2^infty 1x (ln x)^2 dx , que é conhecida por convergir nesse intervalo.
Então, para , a série converge absolutamente. Para , o termo cresce exponencialmente, o que faz com que a série diverja.
No caso de , ou seja, ou , a série se torna:
Essa é uma série positiva que podemos comparar com a integral:
Integrando, obtemos que a integral converge, o que implica que a série também converge neste caso.

Resposta

O domínio da função é todos os números reais tais que . Em outras palavras, .

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