Seja sumn=1^infty an x^n uma série de potências, com raio de convergência 2. Diga, justificando, quais das seguintes afirmações são necessariamente verdadeiras e quais são necessariamente falsas: c) ( ) an 0;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o enunciado está dizendo. Temos uma série de potências da forma sumn=1^infty an x^n, que tem raio de convergência igual a 2. A pergunta quer saber se a afirmação c) “ an 0” é necessariamente verdadeira ou falsa. Para resolver isso, vamos precisar saber um pouco sobre séries de potências e convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o raio de convergência. O raio de convergência de uma série de potências é o valor R tal que a série converge quando |x| < R e diverge quando |x| > R. No nosso caso, R = 2.

Passo 3

Agora, vamos pensar no comportamento dos coeficientes an à medida que n cresce. Uma propriedade importante das séries de potências é que, para que a série convirja em algum ponto dentro do raio de convergência, os coeficientes an devem tender a zero quando n vai para o infinito.

Passo 4

Então, como temos que o raio de convergência é 2, a série converge para todo x tal que |x| < 2. Isso implica que, ao escolhermos um valor de x dentro desse intervalo, a série converge, e para isso, os termos an x^n devem se aproximar de zero. Como x pode ser qualquer número dentro de |x| < 2, a única maneira de garantir que isso aconteça para todo esse intervalo é se an 0 quando n infty.

Resposta

A afirmação c) “ an 0” é necessariamente verdadeira.

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