Seja
uma série de potências, com raio de convergência 2. Diga, justificando, quais das seguintes afirmações são necessariamente verdadeiras e quais são necessariamente falsas: c) ( )
;
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o enunciado está dizendo. Temos uma série de potências da forma
, que tem raio de convergência igual a 2. A pergunta quer saber se a afirmação c) “
” é necessariamente verdadeira ou falsa. Para resolver isso, vamos precisar saber um pouco sobre séries de potências e convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o raio de convergência. O raio de convergência de uma série de potências é o valor
tal que a série converge quando
e diverge quando
. No nosso caso,
.
Passo 3
Agora, vamos pensar no comportamento dos coeficientes
à medida que
cresce. Uma propriedade importante das séries de potências é que, para que a série convirja em algum ponto dentro do raio de convergência, os coeficientes
devem tender a zero quando
vai para o infinito.
Passo 4
Então, como temos que o raio de convergência é 2, a série converge para todo
tal que
. Isso implica que, ao escolhermos um valor de
dentro desse intervalo, a série converge, e para isso, os termos
devem se aproximar de zero. Como
pode ser qualquer número dentro de
, a única maneira de garantir que isso aconteça para todo esse intervalo é se
quando
.
Resposta
A afirmação c) “
” é necessariamente verdadeira.
Exercícios relacionados
a) Utilize a série de potências da função
, para determinar uma representação em série de potências para
, encontrando o raio de convergência.
Seja
uma série de potências, com raio de convergência 2. Diga, justificando, quais das seguintes afirmações são necessariamente verdadeiras e quais são necessariamente falsas: d) ( )
é divergente;
b) Para a função
, determine os desenvolvimentos seguintes e indique os respectivos intervalos de convergência: i. em série de potências em torno de
;
b) Determine uma série de potências para
seu raio de convergência.