Seja uma série de potências, com raio de convergência 2. Diga, justificando, quais das seguintes afirmações são necessariamente verdadeiras e quais são necessariamente falsas: c) ( ) ;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o enunciado está dizendo. Temos uma série de potências da forma , que tem raio de convergência igual a 2. A pergunta quer saber se a afirmação c) “ ” é necessariamente verdadeira ou falsa. Para resolver isso, vamos precisar saber um pouco sobre séries de potências e convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o raio de convergência. O raio de convergência de uma série de potências é o valor tal que a série converge quando e diverge quando . No nosso caso, .

Passo 3

Agora, vamos pensar no comportamento dos coeficientes à medida que cresce. Uma propriedade importante das séries de potências é que, para que a série convirja em algum ponto dentro do raio de convergência, os coeficientes devem tender a zero quando vai para o infinito.

Passo 4

Então, como temos que o raio de convergência é 2, a série converge para todo tal que . Isso implica que, ao escolhermos um valor de dentro desse intervalo, a série converge, e para isso, os termos devem se aproximar de zero. Como pode ser qualquer número dentro de , a única maneira de garantir que isso aconteça para todo esse intervalo é se quando .

Resposta

A afirmação c) “ ” é necessariamente verdadeira.

Exercícios relacionados

a) Utilize a série de potências da função , para determinar uma representação em série de potências para , encontrando o raio de convergência.
Seja uma série de potências, com raio de convergência 2. Diga, justificando, quais das seguintes afirmações são necessariamente verdadeiras e quais são necessariamente falsas: d) ( ) é divergente;
b) Para a função , determine os desenvolvimentos seguintes e indique os respectivos intervalos de convergência: i. em série de potências em torno de ;
b) Determine uma série de potências para seu raio de convergência.