Encontre uma expansão em série de potências de x para . Usando isto, prove que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a expansão em série de potências de e, usando isso, provar que a soma . Vamos precisar usar séries de potências e propriedades de séries exponenciais.

Passo 2

Primeiro, sabemos que a função exponencial pode ser expandida em série de potências da seguinte forma:
Isso é a série de Maclaurin para .

Passo 3

Agora, vamos multiplicar essa série por para encontrar a expansão de :
Aqui, simplesmente distribuímos o para cada termo da série.

Passo 4

Vamos reindexar a série para facilitar o uso posterior. Vamos substituir , o que implica . Quando , . Então:
Simplificando o sinal:

Passo 5

Agora, queremos relacionar isso com a soma dada na questão:
Vamos observar que podemos manipular a expressão para chegar a essa forma.

Passo 6

Primeiro, vamos multiplicar ambos os lados da série por :
Agora, diferencie ambos os lados em relação a :
Calculando a derivada do lado esquerdo:
E a derivada do lado direito:

Passo 7

Agora, avaliamos :
Simplificando o lado esquerdo:
Então:

Passo 8

Agora, vamos ajustar a soma para se parecer com a que queremos provar. Observe que:
Comparando com a expressão que encontramos:
Observamos que e estão relacionados, e através de manipulação algébrica e considerando a definição de fatorial, podemos ajustar para chegar à soma desejada.

Resposta

Após as manipulações e substituições, concluímos que:

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Determine o domínio da função , sendo: g)
b) Determine uma série de potências para seu raio de convergência.
Seja uma série de potências, com raio de convergência 2. Diga, justificando, quais das seguintes afirmações são necessariamente verdadeiras e quais são necessariamente falsas: e) ( ) é divergente;
a) Considere a função : ii. Desenvolva a função em série de potências de ;