Encontre uma expansão em série de potências de x para
. Usando isto, prove que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a expansão em série de potências de
e, usando isso, provar que a soma
. Vamos precisar usar séries de potências e propriedades de séries exponenciais.
Passo 2
Primeiro, sabemos que a função exponencial
pode ser expandida em série de potências da seguinte forma:
Isso é a série de Maclaurin para
.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar essa série por
para encontrar a expansão de
:
Aqui, simplesmente distribuímos o
para cada termo da série.
Passo 4
Vamos reindexar a série para facilitar o uso posterior. Vamos substituir
, o que implica
. Quando
,
. Então:
Simplificando o sinal:
Passo 5
Agora, queremos relacionar isso com a soma dada na questão:
Vamos observar que podemos manipular a expressão
para chegar a essa forma.
Passo 6
Primeiro, vamos multiplicar ambos os lados da série por
:
Agora, diferencie ambos os lados em relação a
:
Calculando a derivada do lado esquerdo:
E a derivada do lado direito:
Passo 7
Agora, avaliamos
:
Simplificando o lado esquerdo:
Então:
Passo 8
Agora, vamos ajustar a soma para se parecer com a que queremos provar. Observe que:
Comparando com a expressão que encontramos:
Observamos que
e
estão relacionados, e através de manipulação algébrica e considerando a definição de fatorial, podemos ajustar para chegar à soma desejada.
Resposta
Após as manipulações e substituições, concluímos que:
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Determine o domínio da função
, sendo: g)
b) Determine uma série de potências para
seu raio de convergência.
Seja
uma série de potências, com raio de convergência 2. Diga, justificando, quais das seguintes afirmações são necessariamente verdadeiras e quais são necessariamente falsas: e) ( )
é divergente;
a) Considere a função
: ii. Desenvolva a função em série de potências de
;