(b) Determine a solução que passa pelo ponto explicitando o seu intervalo de validade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos a solução que passa pelo ponto . Isso está relacionado à Equação Diferencial e Condições Iniciais. Para resolver isso, vamos precisar da solução geral da equação diferencial que provavelmente foi dada na parte (a) do exercício. Nosso objetivo aqui é encontrar a constante específica que faz com que a solução geral passe por esse ponto específico.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar qual é a solução geral da equação diferencial fornecida. Geralmente, a solução geral envolve uma constante arbitrária, digamos , que será determinada usando a condição inicial dada pelo ponto .
Passo 3
Supondo que a solução geral da equação diferencial seja , onde é uma função de que já conhecemos, vamos substituir as coordenadas do ponto dado nessa equação para encontrar o valor de .
Passo 4
Substituímos e na solução geral:
Agora, resolvemos essa equa�o para :
Passo 5
Com o valor de encontrado, substituímos de volta na solução geral para obter a solução particular que passa pelo ponto dado:
Passo 6
Por fim, determinamos o intervalo de validade da solução. Isso geralmente depende do domínio onde a equação diferencial e a solução encontrada são válidas. Verificamos se há restrições no domínio da solução geral e ajustamos o intervalo conforme necessário para garantir que a solução particular seja válida.
Resposta
A solução que passa pelo ponto é , válida no intervalo onde a equação diferencial original é definida.