(b) Determine a solução que passa pelo ponto explicitando o seu intervalo de validade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos a solução que passa pelo ponto . Isso está relacionado à Equação Diferencial e Condições Iniciais. Para resolver isso, vamos precisar da solução geral da equação diferencial que provavelmente foi dada na parte (a) do exercício. Nosso objetivo aqui é encontrar a constante específica que faz com que a solução geral passe por esse ponto específico.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar qual é a solução geral da equação diferencial fornecida. Geralmente, a solução geral envolve uma constante arbitrária, digamos , que será determinada usando a condição inicial dada pelo ponto .

Passo 3

Supondo que a solução geral da equação diferencial seja , onde é uma função de que já conhecemos, vamos substituir as coordenadas do ponto dado nessa equação para encontrar o valor de .

Passo 4

Substituímos e na solução geral:
Agora, resolvemos essa equa�o para :

Passo 5

Com o valor de encontrado, substituímos de volta na solução geral para obter a solução particular que passa pelo ponto dado:

Passo 6

Por fim, determinamos o intervalo de validade da solução. Isso geralmente depende do domínio onde a equação diferencial e a solução encontrada são válidas. Verificamos se há restrições no domínio da solução geral e ajustamos o intervalo conforme necessário para garantir que a solução particular seja válida.

Resposta

A solução que passa pelo ponto é , válida no intervalo onde a equação diferencial original é definida.

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