Seja
. Mostre que, se
, então
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência definida por
. O enunciado nos pede para mostrar que, se
, então:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra, especialmente sobre crescimento de funções exponenciais e propriedades de desigualdades.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Essa expressão se assemelha à soma de uma progressão geométrica. De fato, podemos reescrevê-la usando a soma de potências:
Isso significa que a expressão é a soma de todos os termos de
até
, diminuindo o expoente de
e aumentando o de
a cada termo.
Passo 3
Sabemos que
. Isso implica que para cada termo da soma
, onde
varia de 0 a
, temos
. Portanto, cada termo da soma é menor ou igual a
, já que
e multiplicando por
mantém a desigualdade.
Passo 4
Como há
termos na soma
, e cada termo é menor que
, podemos dizer que:
Mas queremos mostrar que é estritamente menor, ou seja:
Passo 5
A desigualdade estrita ocorre porque
, o que garante que nem todos os termos da soma são iguais a
. Pelo menos um dos termos será menor que
, fazendo com que a soma total seja menor que
.
Resposta
Portanto, mostramos que se
, então: