Seja a_n = (1 + 1/n)^n. Mostre que, se 0 <= a < b, então
(b^(n+1) - a^(n+1)) / (b - a) < (n + 1) b^n

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência definida por . O enunciado nos pede para mostrar que, se , então:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra, especialmente sobre crescimento de funções exponenciais e propriedades de desigualdades.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Essa expressão se assemelha à soma de uma progressão geométrica. De fato, podemos reescrevê-la usando a soma de potências:
Isso significa que a expressão é a soma de todos os termos de até , diminuindo o expoente de e aumentando o de a cada termo.

Passo 3

Sabemos que . Isso implica que para cada termo da soma , onde varia de 0 a , temos . Portanto, cada termo da soma é menor ou igual a , já que e multiplicando por mantém a desigualdade.

Passo 4

Como há termos na soma , e cada termo é menor que , podemos dizer que:
Mas queremos mostrar que é estritamente menor, ou seja:

Passo 5

A desigualdade estrita ocorre porque , o que garante que nem todos os termos da soma são iguais a . Pelo menos um dos termos será menor que , fazendo com que a soma total seja menor que .

Resposta

Portanto, mostramos que se , então:

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