Use a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o enunciado está pedindo. Temos uma função
, onde
e
são funções de
e
:
Queremos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
,
e
usando a Regra da Cadeia. Para isso, precisamos entender como
depende de
e
, e como essas variáveis dependem de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos refrescar a memória sobre a Regra da Cadeia para derivadas parciais. Se
depende de
e
, que por sua vez dependem de
e
, então a derivada parcial de
em relação a, por exemplo,
é dada por:
Vamos aplicar isso para cada derivada que precisamos encontrar.
Passo 3
Vamos começar calculando as derivadas parciais de
em relação a
e
. Dada
, temos:
Passo 4
Agora vamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
e
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, vamos aplicar a Regra da Cadeia para encontrar
,
e
.
Primeiro, para
:
Substituindo:
Passo 6
Simplificando
:
Mas vamos deixar assim por enquanto e seguir para as outras derivadas.
Passo 7
Agora, para
:
Substituindo:
Passo 8
Simplificando
:
Passo 9
Por fim, para
:
Substituindo:
Passo 10
Simplificando
:
Resposta
As derivadas parciais são:
Exercícios relacionados
Seja
. Mostre que, se
, então
(b) Determine a solução que passa pelo ponto
explicitando o seu intervalo de validade.
Determine
.
O tamanho de uma população de peixes pode ser modelado pela fórmula
onde
é o tamanho da população de peixes depois de
anos e
e
são constantes positivas que dependem da espécie e de seu habitat. Suponha que a população no ano 0 seja
. Use o item (b) para mostrar que, se
, então
; em outras palavras, a população se extingue.