Use a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
u=x+yy+z, x=p+r+t, y=p-r+t, z=p+r-t, partial upartial p, partial upartial r, partial upartial t

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o enunciado está pedindo. Temos uma função x = p + r + t, y = p - r + t, z = p + r - t , onde e são funções de e :
Queremos encontrar as derivadas parciais de em relação a , e usando a Regra da Cadeia. Para isso, precisamos entender como depende de e , e como essas variáveis dependem de e .

Passo 2

Primeiro, vamos refrescar a memória sobre a Regra da Cadeia para derivadas parciais. Se partial upartial p = partial upartial x cdot partial xpartial p + partial upartial y cdot partial ypartial p + partial upartial z cdot partial zpartial p depende de e , que por sua vez dependem de e , então a derivada parcial de em relação a, por exemplo, é dada por:
Vamos aplicar isso para cada derivada que precisamos encontrar.

Passo 3

Vamos começar calculando as derivadas parciais de partial upartial x = 1y + z em relação a partial upartial y = 1 cdot (y + z) - (x + y) cdot 1(y + z)^2 = z - x(y + z)^2 e partial upartial z = 0 cdot (y + z) - (x + y) cdot 1(y + z)^2 = -(x + y)(y + z)^2 . Dada , temos:

Passo 4

Agora vamos encontrar as derivadas de partial xpartial p = 1, partial xpartial r = 1, partial xpartial t = 1 e partial ypartial p = 1, partial ypartial r = -1, partial ypartial t = 1 em relação a partial zpartial p = 1, partial zpartial r = 1, partial zpartial t = -1 e :
Para :
Para :
Para :

Passo 5

Agora, vamos aplicar a Regra da Cadeia para encontrar partial upartial p = partial upartial x cdot partial xpartial p + partial upartial y cdot partial ypartial p + partial upartial z cdot partial zpartial p , partial upartial p = 1y + z cdot 1 + z - x(y + z)^2 cdot 1 + -(x + y)(y + z)^2 cdot 1 e .
Primeiro, para :
Substituindo:

Passo 6

Simplificando partial upartial p = 1y + z + z - x - x - y(y + z)^2 = 1y + z + z - y - 2x(y + z)^2 :
Mas vamos deixar assim por enquanto e seguir para as outras derivadas.

Passo 7

Agora, para partial upartial r = partial upartial x cdot partial xpartial r + partial upartial y cdot partial ypartial r + partial upartial z cdot partial zpartial r :
partial upartial r = 1y + z cdot 1 + z - x(y + z)^2 cdot (-1) + -(x + y)(y + z)^2 cdot 1
Substituindo:

Passo 8

Simplificando partial upartial r = 1y + z - z - x(y + z)^2 - x + y(y + z)^2 = 1y + z - z - x + x + y(y + z)^2 :
= 1y + z - z + y(y + z)^2 = 1y + z - 1y + z = 0

Passo 9

Por fim, para partial upartial t = partial upartial x cdot partial xpartial t + partial upartial y cdot partial ypartial t + partial upartial z cdot partial zpartial t :
partial upartial t = 1y + z cdot 1 + z - x(y + z)^2 cdot 1 + -(x + y)(y + z)^2 cdot (-1)
Substituindo:

Passo 10

Simplificando partial upartial t = 1y + z + z - x(y + z)^2 + x + y(y + z)^2 = 1y + z + z - x + x + y(y + z)^2 :
= 1y + z + z + y(y + z)^2 = 1y + z + 1y + z = 2y + z

Resposta

As derivadas parciais são:
partial upartial p = 1y + z + z - y - 2x(y + z)^2
partial upartial r = 0
partial upartial t = 2y + z

Exercícios relacionados