Use a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o enunciado está pedindo. Temos uma função , onde e são funções de e :
Queremos encontrar as derivadas parciais de em relação a , e usando a Regra da Cadeia. Para isso, precisamos entender como depende de e , e como essas variáveis dependem de e .

Passo 2

Primeiro, vamos refrescar a memória sobre a Regra da Cadeia para derivadas parciais. Se depende de e , que por sua vez dependem de e , então a derivada parcial de em relação a, por exemplo, é dada por:
Vamos aplicar isso para cada derivada que precisamos encontrar.

Passo 3

Vamos começar calculando as derivadas parciais de em relação a e . Dada , temos:

Passo 4

Agora vamos encontrar as derivadas de e em relação a e :
Para :
Para :
Para :

Passo 5

Agora, vamos aplicar a Regra da Cadeia para encontrar , e .
Primeiro, para :
Substituindo:

Passo 6

Simplificando :
Mas vamos deixar assim por enquanto e seguir para as outras derivadas.

Passo 7

Agora, para :
Substituindo:

Passo 8

Simplificando :

Passo 9

Por fim, para :
Substituindo:

Passo 10

Simplificando :

Resposta

As derivadas parciais são:

Exercícios relacionados

Seja . Mostre que, se , então
(b) Determine a solução que passa pelo ponto explicitando o seu intervalo de validade.
Determine .
O tamanho de uma população de peixes pode ser modelado pela fórmula
onde é o tamanho da população de peixes depois de anos e e são constantes positivas que dependem da espécie e de seu habitat. Suponha que a população no ano 0 seja . Use o item (b) para mostrar que, se , então ; em outras palavras, a população se extingue.