Resolva o sistema de equações diferenciais por eliminação ou por determinantes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais juntos! O enunciado nos dá duas equações que relacionam as derivadas de e em relação ao tempo , além de condições iniciais. A matéria envolvida aqui é sistemas de equações diferenciais lineares, e vamos precisar usar métodos de eliminação ou determinantes para encontrar as soluções para e .
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma mais clara:
Aqui, temos duas equações diferenciais com duas incógnitas, e , e condições iniciais no tempo .
Passo 3
Vamos organizar o sistema na forma matricial para facilitar o uso de determinantes. Podemos escrever as equações como:
Aqui, a matriz dos coeficientes é .
Passo 4
Para resolver o sistema, vamos encontrar os valores próprios da matriz . Os valores próprios são soluções do determinante , onde é a matriz identidade e representa os valores próprios.
Calculando o determinante:
Expandindo:
Igualando a zero:
Passo 5
Resolvendo a equação quadrática para :
Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e :
Portanto, temos um valor próprio duplo .
Passo 6
Com um valor próprio duplo, a solução geral do sistema pode ser escrita como:
Mas precisamos relacionar e . Vamos usar uma das equações do sistema original para encontrar essa relação.
Passo 7
Vamos usar a primeira equação:
Substituindo :
Primeiro, calculamos :
Agora, substituindo na equação:
Simplificando:
Portanto:
Passo 8
Agora, aplicamos as condições iniciais e para encontrar os valores das constantes e .