Resolva o sistema de equações diferenciais por eliminação ou por determinantes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais juntos! O enunciado nos dá duas equações que relacionam as derivadas de e em relação ao tempo , além de condições iniciais. A matéria envolvida aqui é sistemas de equações diferenciais lineares, e vamos precisar usar métodos de eliminação ou determinantes para encontrar as soluções para e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma mais clara:
Aqui, temos duas equações diferenciais com duas incógnitas, e , e condições iniciais no tempo .

Passo 3

Vamos organizar o sistema na forma matricial para facilitar o uso de determinantes. Podemos escrever as equações como:
Aqui, a matriz dos coeficientes é .

Passo 4

Para resolver o sistema, vamos encontrar os valores próprios da matriz . Os valores próprios são soluções do determinante , onde é a matriz identidade e representa os valores próprios.
Calculando o determinante:
Expandindo:
Igualando a zero:

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática para :
Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e :
Portanto, temos um valor próprio duplo .

Passo 6

Com um valor próprio duplo, a solução geral do sistema pode ser escrita como:
Mas precisamos relacionar e . Vamos usar uma das equações do sistema original para encontrar essa relação.

Passo 7

Vamos usar a primeira equação:
Substituindo :
Primeiro, calculamos :
Agora, substituindo na equação:
Simplificando:
Portanto:

Passo 8

Agora, aplicamos as condições iniciais e para encontrar os valores das constantes e .
Primeiro, para :
Segundo, para :
Então:
E, consequentemente:

Resposta

As soluções do sistema são:
Simplificando ainda mais:

Exercícios relacionados

Use a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
quando
Resolva o sistema de equações diferenciais por eliminação ou por determinantes.
(b) Determine a solução que passa pelo ponto explicitando o seu intervalo de validade.
Seja . Mostre que, se , então