Use a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
quando
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve a Regra da Cadeia para encontrar derivadas parciais. A gente tem uma função
, onde
,
e
são funções de
e
:
Precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
e depois avaliar essas derivadas quando
e
. Vamos precisar usar a Regra da Cadeia, que ajuda a derivar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis. Quando temos
dependendo de
,
e
, que por sua vez dependem de
e
, a derivada parcial de
em relação a
é:
E de forma similar para
.
Passo 3
Vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
,
e
:
Passo 4
Agora, vamos derivar
,
e
em relação a
e
:
Para
e
:
Para
e
:
Para
e
:
Passo 5
Vamos juntar tudo para calcular
:
Substituindo as derivadas encontradas:
Passo 6
Agora, calculamos
:
Substituindo as derivadas encontradas:
Passo 7
Agora, vamos avaliar as derivadas quando
e
.
Primeiro, encontramos
,
e
nesses valores:
Passo 8
Substituindo
e
na expressão de
:
Passo 9
Substituindo
e
na expressão de
:
Resposta
As derivadas parciais quando
e
são: