Use a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
quando

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve a Regra da Cadeia para encontrar derivadas parciais. A gente tem uma função , onde , e são funções de e :
Precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e e depois avaliar essas derivadas quando e . Vamos precisar usar a Regra da Cadeia, que ajuda a derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis. Quando temos dependendo de , e , que por sua vez dependem de e , a derivada parcial de em relação a é:
E de forma similar para .

Passo 3

Vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a , e :

Passo 4

Agora, vamos derivar , e em relação a e :
Para e :
Para e :
Para e :

Passo 5

Vamos juntar tudo para calcular :
Substituindo as derivadas encontradas:

Passo 6

Agora, calculamos :
Substituindo as derivadas encontradas:

Passo 7

Agora, vamos avaliar as derivadas quando e .
Primeiro, encontramos , e nesses valores:

Passo 8

Substituindo e na expressão de :

Passo 9

Substituindo e na expressão de :

Resposta

As derivadas parciais quando e são:

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(b) Determine a solução que passa pelo ponto explicitando o seu intervalo de validade.