Use a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
u=x y+y z+z x, x=s t, y=e^s t, z=t^2 ; partial upartial s, partial upartial t quando s=0, t=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve a Regra da Cadeia para encontrar derivadas parciais. A gente tem uma função x = s t, y = e^s t, z = t^2 , onde , e são funções de e :
Precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e e depois avaliar essas derivadas quando e . Vamos precisar usar a Regra da Cadeia, que ajuda a derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis. Quando temos partial upartial s = partial upartial x cdot partial xpartial s + partial upartial y cdot partial ypartial s + partial upartial z cdot partial zpartial s dependendo de , e , que por sua vez dependem de e , a derivada parcial de em relação a é:
E de forma similar para .

Passo 3

Vamos encontrar as derivadas parciais de partial upartial x = y + z em relação a partial upartial y = x + z , partial upartial z = y + x e :

Passo 4

Agora, vamos derivar x = s t Rightarrow partial xpartial s = t e partial xpartial t = s , y = e^s t Rightarrow partial ypartial s = t e^s t e partial ypartial t = s e^s t e z = t^2 Rightarrow partial zpartial s = 0 e partial zpartial t = 2 t em relação a e :
Para e :
Para e :
Para e :

Passo 5

Vamos juntar tudo para calcular partial upartial s = (y + z) cdot partial xpartial s + (x + z) cdot partial ypartial s + (y + x) cdot partial zpartial s :
partial upartial s = (y + z) cdot t + (x + z) cdot t e^s t + (y + x) cdot 0
Substituindo as derivadas encontradas:
partial upartial s = t (y + z) + t e^s t (x + z)

Passo 6

Agora, calculamos partial upartial t = (y + z) cdot partial xpartial t + (x + z) cdot partial ypartial t + (y + x) cdot partial zpartial t :
partial upartial t = (y + z) cdot s + (x + z) cdot s e^s t + (y + x) cdot 2 t
Substituindo as derivadas encontradas:
partial upartial t = s (y + z) + s e^s t (x + z) + 2 t (y + x)

Passo 7

Agora, vamos avaliar as derivadas quando x = 0 times 1 = 0 e y = e^0 times 1 = e^0 = 1 .
Primeiro, encontramos z = 1^2 = 1 , e nesses valores:

Passo 8

Substituindo partial upartial s = 1 cdot (1 + 1) + 1 cdot e^0 (0 + 1) = 2 + 1 = 3 e na expressão de :

Passo 9

Substituindo partial upartial t = 0 cdot (1 + 1) + 0 cdot e^0 (0 + 1) + 2 times 1 cdot (1 + 0) = 0 + 0 + 2 = 2 e na expressão de :

Resposta

As derivadas parciais quando partial upartial s = 3 e partial upartial t = 2 e são:

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