(b) Determine todas as matrizes , que comutam com toda matriz , ou seja, tais que , para toda matriz .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar todas as matrizes de tamanho que comutam com qualquer outra matriz de tamanho . Isso significa que, para qualquer matriz , a multiplicação deve ser igual a . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, principalmente sobre matrizes que comutam e matrizes escalares.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a matriz de forma geral. Como é uma matriz , podemos escrevê-la assim:
Aqui, , , e são números reais (ou complexos, dependendo do contexto).

Passo 3

Agora, precisamos que comute com toda matriz de tamanho . Em outras palavras, para qualquer matriz ,
Vamos multiplicar por e por para ver o que isso implica.

Passo 4

Calculando :
Calculando :

Passo 5

Para que para toda matriz , as entradas correspondentes das matrizes resultantes devem ser iguais. Portanto, temos as seguintes equações:
Agora, vamos analisar essas equações para encontrar restrições sobre os elementos de .

Passo 6

Vamos considerar que as equações devem valer para todos os valores de , , e . Isso significa que os coeficientes de , , e em cada equação devem ser iguais.
Analisando a primeira equação:
Isso simplifica para:
Para isso valer para todos e , a única possibilidade é que e .

Passo 7

Agora que sabemos que e , vamos substituir na matriz :
Vamos verificar se ainda há restrições para e usando as outras equações.

Passo 8

Substituindo e nas outras equações:
Da segunda equação ( ), para que isso valha para todo , precisamos que .
A quarta equação ( ) já é sempre verdadeira, então não adiciona nova informação.

Passo 9

Portanto, concluímos que:
Onde é a matriz identidade de ordem .

Resposta

Todas as matrizes que comutam com qualquer matriz de são escalas da matriz identidade. Ou seja,
onde é um número real (ou complexo).

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Verificar se são coplanares os seguintes vetores:
(a) e
(b) e
Calcule .
Calcule o determinante das seguintes matrizes:
Se e , fog e gof é igual a: