(b) Determine todas as matrizes , que comutam com toda matriz , ou seja, tais que , para toda matriz .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar todas as matrizes de tamanho que comutam com qualquer outra matriz de tamanho . Isso significa que, para qualquer matriz , a multiplicação deve ser igual a . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, principalmente sobre matrizes que comutam e matrizes escalares.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a matriz de forma geral. Como é uma matriz , podemos escrevê-la assim:
Aqui, , , e são números reais (ou complexos, dependendo do contexto).
Passo 3
Agora, precisamos que comute com toda matriz de tamanho . Em outras palavras, para qualquer matriz ,
Vamos multiplicar por e por para ver o que isso implica.
Passo 4
Calculando :
Calculando :
Passo 5
Para que para toda matriz , as entradas correspondentes das matrizes resultantes devem ser iguais. Portanto, temos as seguintes equações:
Agora, vamos analisar essas equações para encontrar restrições sobre os elementos de .
Passo 6
Vamos considerar que as equações devem valer para todos os valores de , , e . Isso significa que os coeficientes de , , e em cada equação devem ser iguais.
Analisando a primeira equação:
Isso simplifica para:
Para isso valer para todos e , a única possibilidade é que e .
Passo 7
Agora que sabemos que e , vamos substituir na matriz :
Vamos verificar se ainda há restrições para e usando as outras equações.
Passo 8
Substituindo e nas outras equações:
Da segunda equação (), para que isso valha para todo , precisamos que .
A quarta equação () já é sempre verdadeira, então não adiciona nova informação.
Passo 9
Portanto, concluímos que:
Onde é a matriz identidade de ordem .
Resposta
Todas as matrizes que comutam com qualquer matriz de são escalas da matriz identidade. Ou seja,