(b) Determine todas as matrizes
, que comutam com toda matriz
, ou seja, tais que
, para toda matriz
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar todas as matrizes
de tamanho
que comutam com qualquer outra matriz
de tamanho
. Isso significa que, para qualquer matriz
, a multiplicação
deve ser igual a
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, principalmente sobre matrizes que comutam e matrizes escalares.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a matriz
de forma geral. Como
é uma matriz
, podemos escrevê-la assim:
Aqui,
,
,
e
são números reais (ou complexos, dependendo do contexto).
Passo 3
Agora, precisamos que
comute com toda matriz
de tamanho
. Em outras palavras, para qualquer matriz
,
Vamos multiplicar
por
e
por
para ver o que isso implica.
Passo 4
Calculando
:
Calculando
:
Passo 5
Para que
para toda matriz
, as entradas correspondentes das matrizes resultantes devem ser iguais. Portanto, temos as seguintes equações:
Agora, vamos analisar essas equações para encontrar restrições sobre os elementos de
.
Passo 6
Vamos considerar que as equações devem valer para todos os valores de
,
,
e
. Isso significa que os coeficientes de
,
,
e
em cada equação devem ser iguais.
Analisando a primeira equação:
Isso simplifica para:
Para isso valer para todos
e
, a única possibilidade é que
e
.
Passo 7
Agora que sabemos que
e
, vamos substituir na matriz
:
Vamos verificar se ainda há restrições para
e
usando as outras equações.
Passo 8
Substituindo
e
nas outras equações:
Da segunda equação (
), para que isso valha para todo
, precisamos que
.
A quarta equação (
) já é sempre verdadeira, então não adiciona nova informação.
Passo 9
Portanto, concluímos que:
Onde
é a matriz identidade de ordem
.
Resposta
Todas as matrizes
que comutam com qualquer matriz
de
são escalas da matriz identidade. Ou seja,
onde
é um número real (ou complexo).