(b) Determine todas as matrizes A, 2 times 2, que comutam com toda matriz B, 2 times 2, ou seja, tais que A B=B A, para toda matriz B, 2 times 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar todas as matrizes A de tamanho 2 times 2 que comutam com qualquer outra matriz B de tamanho 2 times 2. Isso significa que, para qualquer matriz B, a multiplicação AB deve ser igual a BA. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, principalmente sobre matrizes que comutam e matrizes escalares.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a matriz A de forma geral. Como A é uma matriz 2 times 2, podemos escrevê-la assim:
A = a & b c & d
Aqui, a, b, c e d são números reais (ou complexos, dependendo do contexto).

Passo 3

Agora, precisamos que A comute com toda matriz B de tamanho 2 times 2. Em outras palavras, para qualquer matriz B = e & f g & h ,
A B = B A
Vamos multiplicar A por B e B por A para ver o que isso implica.

Passo 4

Calculando A B:
A B = a & b c & d e & f g & h = a e + b g & a f + b h c e + d g & c f + d h
Calculando B A:
B A = e & f g & h a & b c & d = e a + f c & e b + f d g a + h c & g b + h d

Passo 5

Para que A B = B A para toda matriz B, as entradas correspondentes das matrizes resultantes devem ser iguais. Portanto, temos as seguintes equações:
  1. a e + b g = e a + f c
  2. a f + b h = e b + f d
  3. c e + d g = g a + h c
  4. c f + d h = g b + h d
Agora, vamos analisar essas equações para encontrar restrições sobre os elementos de A.

Passo 6

Vamos considerar que as equações devem valer para todos os valores de e, f, g e h. Isso significa que os coeficientes de e, f, g e h em cada equação devem ser iguais.
Analisando a primeira equação:
a e + b g = e a + f c
Isso simplifica para:
b g = f c
Para isso valer para todos g e f, a única possibilidade é que b = 0 e c = 0.

Passo 7

Agora que sabemos que b = 0 e c = 0, vamos substituir na matriz A:
A = a & 0 0 & d
Vamos verificar se ainda há restrições para a e d usando as outras equações.

Passo 8

Substituindo b = 0 e c = 0 nas outras equações:
  1. a f = f d
  2. d h = h d
Da segunda equação ( a f = f d), para que isso valha para todo f, precisamos que a = d.
A quarta equação ( d h = h d) já é sempre verdadeira, então não adiciona nova informação.

Passo 9

Portanto, concluímos que:
A = a & 0 0 & a = a 1 & 0 0 & 1 = a I
Onde I é a matriz identidade de ordem 2.

Resposta

Todas as matrizes A que comutam com qualquer matriz B de 2 times 2 são escalas da matriz identidade. Ou seja,
A = a I = a 1 & 0 0 & 1
onde a é um número real (ou complexo).

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