Verificar se são coplanares os seguintes vetores:
(a) e
(b) e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se certos vetores são coplanares. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre vetores no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar calcular o produto misto desses vetores. Se o resultado for zero, significa que eles são coplanares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa vetores serem coplanares. Três vetores são coplanares se eles estão todos no mesmo plano. Matemáticamente, isso acontece se o produto misto dos três vetores for igual a zero. O produto misto pode ser calculado determinando o determinante de uma matriz formada pelos três vetores.
Passo 3
Vamos começar com a parte (a) do exercício. Temos os vetores:
Vamos montar a matriz com esses vetores e calcular seu determinante.
Passo 4
A matriz fica assim:
Para calcular o determinante dessa matriz, vamos usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores.
Passo 5
Calculando o determinante:
Como o determinante não é zero (19 ≠ 0), os vetores não são coplanares na parte (a).
Passo 6
Agora vamos para a parte (b). Temos os vetores:
Novamente, vamos montar a matriz e calcular seu determinante.
Passo 7
A matriz para a parte (b) é:
Vamos calcular o determinante dessa matriz.
Passo 8
Calculando o determinante:
O determinante é zero, então os vetores são coplanares na parte (b).
Resposta
(a) Os vetores não são coplanares.
(b) Os vetores são coplanares.