Verificar se são coplanares os seguintes vetores:
(a) u=(3,-1,2), v=(1,1,1) e w=(-2,3,4)
(b) u=(2,-1,0), v=(3,1,2) e w=(7,-1,2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se certos vetores são coplanares. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre vetores no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar calcular o produto misto desses vetores. Se o resultado for zero, significa que eles são coplanares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa vetores serem coplanares. Três vetores são coplanares se eles estão todos no mesmo plano. Matemáticamente, isso acontece se o produto misto dos três vetores for igual a zero. O produto misto pode ser calculado determinando o determinante de uma matriz formada pelos três vetores.

Passo 3

Vamos começar com a parte (a) do exercício. Temos os vetores:
u = (3, -1, 2), v = (1, 1, 1), w = (-2, 3, 4)
Vamos montar a matriz com esses vetores e calcular seu determinante.

Passo 4

A matriz fica assim:
3 & -1 & 2 1 & 1 & 1 -2 & 3 & 4
Para calcular o determinante dessa matriz, vamos usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores.

Passo 5

Calculando o determinante:
3 times (1 times 4 - 1 times 3) - (-1) times (1 times 4 - 1 times (-2)) + 2 times (1 times 3 - 1 times (-2))
= 3 times (4 - 3) + 1 times (4 + 2) + 2 times (3 + 2)
= 3 times 1 + 1 times 6 + 2 times 5 = 3 + 6 + 10 = 19
Como o determinante não é zero (19 ≠ 0), os vetores não são coplanares na parte (a).

Passo 6

Agora vamos para a parte (b). Temos os vetores:
u = (2, -1, 0), v = (3, 1, 2), w = (7, -1, 2)
Novamente, vamos montar a matriz e calcular seu determinante.

Passo 7

A matriz para a parte (b) é:
2 & -1 & 0 3 & 1 & 2 7 & -1 & 2
Vamos calcular o determinante dessa matriz.

Passo 8

Calculando o determinante:
2 times (1 times 2 - 2 times (-1)) - (-1) times (3 times 2 - 2 times 7) + 0 times (3 times (-1) - 1 times 7)
= 2 times (2 + 2) + 1 times (6 - 14) + 0 times (-3 - 7)
= 2 times 4 + 1 times (-8) + 0 = 8 - 8 + 0 = 0
O determinante é zero, então os vetores são coplanares na parte (b).

Resposta

(a) Os vetores não são coplanares.
(b) Os vetores são coplanares.

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