Determine o intervalo de convergência e raio de convergência da função de Bessel de ordem zero definida por .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, o que a gente quer descobrir aqui é o intervalo de convergência e o raio de convergência da função de Bessel de ordem zero, que é dada pela série:
Matéria envolvida: Série de potências e seus critérios de convergência. Vamos precisar usar o Critério da Razão para encontrar o raio e o intervalo de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o raio de convergência. Ele indica até que ponto a série converge em torno do ponto central, que nesse caso é zero. O intervalo de convergência vai nos dizer exatamente quais valores de fazem a série convergir.
Passo 3
Para encontrar o raio de convergência ®, vamos aplicar o Critério da Razão, que é uma técnica padrão para séries de potências. A ideia é calcular o limite:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Passo 4
Vamos aplicar isso na nossa série:
Primeiro, identifique an = (-1)^n x^2n2^2n (n!)^2 :