Determine o intervalo de convergência e raio de convergência da função de Bessel de ordem zero definida por J0=sumn=0^infty (-1)^n x^2 n2^2 n(n!)^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, o que a gente quer descobrir aqui é o intervalo de convergência e o raio de convergência da função de Bessel de ordem zero, que é dada pela série:
J0(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n2^2n (n!)^2
Matéria envolvida: Série de potências e seus critérios de convergência. Vamos precisar usar o Critério da Razão para encontrar o raio e o intervalo de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o raio de convergência. Ele indica até que ponto a série converge em torno do ponto central, que nesse caso é zero. O intervalo de convergência vai nos dizer exatamente quais valores de fazem a série convergir.

Passo 3

Para encontrar o raio de convergência ®, vamos aplicar o Critério da Razão, que é uma técnica padrão para séries de potências. A ideia é calcular o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos aplicar isso na nossa série:
Primeiro, identifique an = (-1)^n x^2n2^2n (n!)^2 :
an+1an = (-1)^n+1 x^2(n+1)2^2(n+1) ((n+1)!)^2 times 2^2n (n!)^2(-1)^n x^2n = -x^2 2^2 (n+1)^2 = -x^24 (n+1)^2
Agora, calcule L = limn to infty | -x^24 (n+1)^2 | = limn to infty x^24 (n+1)^2 = 0 :
Agora, toma o valor absoluto e o limite quando tende ao infinito:
Como , a série converge para todo valor de .

Resposta

O raio de convergência é infinito e o intervalo de convergência é .

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