Considere a função
.
(a) Calcule
onde
.
(a) Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa calcular a integral dupla da função
sobre a região
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como configurar e calcular integrais duplas em retângulos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a região
. Isso quer dizer que
varia de 0 a 1 e
varia de 0 a 2. Então, nosso domínio de integração é um retângulo no plano
.
Passo 3
A integral dupla
pode ser escrita como duas integrais iteradas. Podemos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
, ou vice-versa. Vamos escolher integrar primeiro em relação a
:
Passo 4
Vamos calcular a integral interna, que é em relação a
:
Isso significa que tratamos
como uma constante e integramos cada termo em relação a
.
Passo 5
Integrando termo a termo:
Passo 6
Somando os resultados das duas integrais:
Agora, substituímos esse resultado na integral externa, que é em relação a
:
Passo 7
Vamos calcular essa integral em relação a
:
Passo 8
Agora, somamos os resultados das duas integrais:
Resposta
O valor da integral dupla é 6.
Exercícios relacionados
© É correto afirmar que o campo
é conservativo? Justifique sua resposta.
Seja
. Encontre a série de Taylor de
em torno de
.
Determine o intervalo de convergência e raio de convergência da função de Bessel de ordem zero definida por
.
(b) Determine o volume abaixo do parabolóide
e acima da região
limitada pelas curvas
e
.