Considere a função f(x, y)=4 x^3+6 x^2 y.
(a) Calcule integral duplaR f(x, y) d A onde R=[0,1] times[0,2].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa calcular a integral dupla da função sobre a região . Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como configurar e calcular integrais duplas em retângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a região . Isso quer dizer que varia de 0 a 1 e varia de 0 a 2. Então, nosso domínio de integração é um retângulo no plano .

Passo 3

A integral dupla integral duplaR f(x, y) , dA = integral0^1 ( integral0^2 (4x^3 + 6x^2y) , dy ) dx pode ser escrita como duas integrais iteradas. Podemos integrar primeiro em relação a e depois em relação a , ou vice-versa. Vamos escolher integrar primeiro em relação a :

Passo 4

Vamos calcular a integral interna, que é em relação a integral0^2 (4x^3 + 6x^2y) , dy :
Isso significa que tratamos como uma constante e integramos cada termo em relação a .

Passo 5

Integrando termo a termo:
integral0^2 4x^3 , dy = 4x^3 integral0^2 dy = 4x^3 [y]0^2 = 4x^3 (2 - 0) = 8x^3
integral0^2 6x^2y , dy = 6x^2 integral0^2 y , dy = 6x^2 [ y^22 ]0^2 = 6x^2 ( 42 - 0 ) = 6x^2 cdot 2 = 12x^2

Passo 6

Somando os resultados das duas integrais:
8x^3 + 12x^2
Agora, substituímos esse resultado na integral externa, que é em relação a integral0^1 (8x^3 + 12x^2) , dx :

Passo 7

Vamos calcular essa integral em relação a integral0^1 8x^3 , dx = 8 integral0^1 x^3 , dx = 8 [ x^44 ]0^1 = 8 ( 14 - 0 ) = 2 :
integral0^1 12x^2 , dx = 12 integral0^1 x^2 , dx = 12 [ x^33 ]0^1 = 12 ( 13 - 0 ) = 4

Passo 8

Agora, somamos os resultados das duas integrais:
2 + 4 = 6

Resposta

O valor da integral dupla é 6.

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