(b) (1.0) Se os discos tem a mesma massa específica (massa por unidade de volume) e a mesma espessura. Qual é a razão entre o módulo do momento angular do disco A e o módulo do momento angular do disco C ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a razão entre o módulo do momento angular do disco A e o do disco C. Isso envolve conceitos de momento angular e momento de inércia. Pra resolver, a gente vai precisar entender como calcular o momento angular de discos que têm a mesma massa específica e espessura.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o momento angular ( L) de um objeto que gira é dado por:
L = I cdot omega
Onde:
  • I é o momento de inércia.
  • omega é a velocidade angular.
Como os discos têm a mesma massa específica e espessura, a massa de cada disco está relacionada com sua área. Ou seja, se os discos tiverem raios diferentes, suas massas serão diferentes proporcionalmente ao raio ao quadrado.

Passo 3

Vamos calcular o momento de inércia ( I) de um disco. A fórmula para o momento de inércia de um disco rígido em relação ao seu eixo é:
I = 12 m R^2
Onde:
  • m é a massa do disco.
  • R é o raio do disco.
Como a massa ( m) dos discos é proporcional à área (já que a massa específica e a espessura são iguais), podemos dizer que:
m propto R^2
Então, se o disco C tiver, por exemplo, o dobro do raio do disco A, sua massa será quatro vezes maior.

Passo 4

Agora, vamos comparar os momentos angulares dos discos A e C:
LALC = IA cdot omegaAIC cdot omegaC
Assumindo que a velocidade angular ( omega) dos dois discos seja a mesma, a razão fica apenas com os momentos de inércia:
IAIC = 12 mA RA^212 mC RC^2 = mA RA^2mC RC^2
Sabendo que m propto R^2, podemos substituir:
mAmC = RA^2RC^2
Então:
IAIC = RA^2RC^2 cdot RA^2RC^2 = (RARC)^4

Resposta

A razão entre o momento angular do disco A e do disco C é (RARC)^4.

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