A mola de um canhão de circo tem constante elástica k=10^4 N / m. O canhão forma um ângulo de 60^circ com a horizontal e dispara um homem de 80 kg , que atinge uma altura de 10 m acima da boca do canhão. A mola está livre quando o homem atinge a boca do canhão. (a) Qual a velocidade de saída do homem? e (b) de quanto a mola foi comprimida? Resp. (a) 16 m / s (b) 1,5 m

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um canhão de circo com uma mola cujo constante elástica é . Esse canhão está inclinado a em relação à horizontal e dispara um homem de 80 kg. Quando o homem atinge uma altura de 10 metros acima da boca do canhão, a mola fica livre. Precisamos descobrir duas coisas:
a) Qual é a velocidade com que o homem sai do canhão?
b) De quanto a mola foi comprimida.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia e cinemática. Vamos precisar das seguintes fórmulas:
  • Energia Potencial Gravitacional:
  • Energia Cinética:
  • Energia Elástica da Mola:
  • Relação entre altura, velocidade e ângulo de lançamento.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): Encontrar a velocidade de saída do homem.
Quando o homem é lançado, a energia potencial armazenada na mola se transforma em energia cinética do homem. Além disso, ao atingir a altura máxima, a energia cinética será convertida novamente em energia potencial gravitacional.
Na altura máxima de 10 metros, toda a energia cinética que o homem tinha no lançamento foi convertida em energia potencial. Então, podemos escrever:
Ec = Ep
12 m v^2 = m cdot g cdot h
Podemos cancelar o 12 v^2 = g cdot h dos dois lados:
v^2 = 2 g h
Agora, isolamos v = raiz2 g h :
v = raiz2 cdot 9,8 cdot 10
v = raiz196
Substituindo os valores:
  • v = 14 , m/s
  • vvertical = v0 cdot sin(theta)
vvertical = v0 cdot sin(60^circ)
14 = v0 cdot raiz32
v0 = 14 cdot 2raiz3
Contudo, percebemos que a mola não está vertical, está inclinada a v0 approx 281,732 . Então, a velocidade que calculamos é a componente vertical. A velocidade total de saída ( v0 approx 16,18 , m/s ) está relacionada com a componente vertical pela relação:
Sabemos que no ponto mais alto, a velocidade vertical é zero, mas a velocidade inicial na vertical é o que calculamos. Então:
Arredondando, temos aproximadamente 16 m/s.

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b): Descobrir de quanto a mola foi comprimida.
A energia elástica armazenada na mola quando ela está comprimida é igual à energia cinética que o homem adquiriu no momento da saída do canhão.
Então:
Es = Ec
12 k x^2 = 12 m v^2
Podemos simplificar os k x^2 = m v^2 :
x^2 = m v^2k
Isolando x = raizm v^2k :
x = raiz80 cdot (16)^210^4
x = raiz80 cdot 25610^4
Substituindo os valores que temos:
  • x = raiz2048010000
  • x = raiz2,048
  • x approx 1,43 , m
Arredondando, aproximadamente 1,5 metros.

Resposta

(a)
(b)

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