b) Se dois eventos acontecem no mesmo local num dado referencial inercial S, mostre que sua ordem temporal será a mesma para qualquer outro referencial inercial, e que o menor intervalo de tempo medido entre os dois referenciais será em S.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que, se dois eventos acontecem no mesmo lugar em um referencial inercial , a ordem em que eles ocorrem é a mesma em qualquer outro referencial inercial. Além disso, o menor intervalo de tempo entre os dois referenciais será medido em . Para resolver isso, vamos usar os conceitos de transformações de Lorentz da física relativística.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um referencial inercial. É um sistema de coordenadas onde as leis da física, especialmente a segunda lei de Newton, se aplicam sem a necessidade de forças fictícias. Agora, como os eventos ocorrem no mesmo lugar em De, a diferença de posição ( ) entre eles em é zero:

Passo 3

Agora, vamos considerar outro referencial inercial De que está se movendo a uma velocidade constante em relação a De. Para relacionar as coordenadas temporais e espaciais dos eventos em e , usamos as transformações de Lorentz:
onde é o fator de Lorentz, é a velocidade relativa entre os referenciais, e é a velocidade da luz.

Passo 4

Como De (os eventos ocorrem no mesmo lugar em ), podemos simplificar a equação para :
Isso mostra que é simplesmente vezes .

Passo 5

O fator gamma >= 1 sempre é maior ou igual a 1 porque é sempre menor que 1 para velocidades inferiores à da luz. Portanto:
Isso implica que .

Passo 6

Como é sempre maior ou igual a , conclui-se que o intervalo de tempo medido em ( ) é o menor intervalo possível entre os eventos. Além disso, como não altera o sinal de , a ordem temporal dos eventos permanece a mesma em qualquer referencial inercial.

Resposta

Portanto, mostramos que quando dois eventos ocorrem no mesmo lugar em um referencial inercial , sua ordem temporal permanece a mesma em qualquer outro referencial inercial, e o menor intervalo de tempo entre os eventos é realmente medido em .

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