b) Se dois eventos acontecem no mesmo local num dado referencial inercial
, mostre que sua ordem temporal será a mesma para qualquer outro referencial inercial, e que o menor intervalo de tempo medido entre os dois referenciais será em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que, se dois eventos acontecem no mesmo lugar em um referencial inercial
, a ordem em que eles ocorrem é a mesma em qualquer outro referencial inercial. Além disso, o menor intervalo de tempo entre os dois referenciais será medido em
. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de transformações de Lorentz da física relativística.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um referencial inercial. É um sistema de coordenadas onde as leis da física, especialmente a segunda lei de Newton, se aplicam sem a necessidade de forças fictícias. Agora, como os eventos ocorrem no mesmo lugar em
, a diferença de posição (
) entre eles em
é zero:
Passo 3
Agora, vamos considerar outro referencial inercial
que está se movendo a uma velocidade constante em relação a
. Para relacionar as coordenadas temporais e espaciais dos eventos em
e
, usamos as transformações de Lorentz:
onde
é o fator de Lorentz,
é a velocidade relativa entre os referenciais, e
é a velocidade da luz.
Passo 4
Como
(os eventos ocorrem no mesmo lugar em
), podemos simplificar a equação para
:
Isso mostra que
é simplesmente
vezes
.
Passo 5
O fator
sempre é maior ou igual a 1 porque
é sempre menor que 1 para velocidades inferiores à da luz. Portanto:
Isso implica que
.
Passo 6
Como
é sempre maior ou igual a
, conclui-se que o intervalo de tempo medido em
(
) é o menor intervalo possível entre os eventos. Além disso, como
não altera o sinal de
, a ordem temporal dos eventos permanece a mesma em qualquer referencial inercial.
Resposta
Portanto, mostramos que quando dois eventos ocorrem no mesmo lugar em um referencial inercial
, sua ordem temporal permanece a mesma em qualquer outro referencial inercial, e o menor intervalo de tempo entre os eventos é realmente medido em
.
Exercícios relacionados
Sabendo que esse gás é constituído apenas de um tipo de molécula, estime a quantidade de átomos e faça o esboço de uma possível forma desta molécula, indicando quais modos vibracionais podem estar sendo excitados.
Quanto deve ser (em km/h) a velocidade relativa entre dois observadores, para que a diferença entre suas medidas de tempo ou espaço seja de
?
c) Sejam dois eventos que acontecem no mesmo instante com uma separação
num dado referencial
. Mostre que a separação temporal entre esses eventos pode assumir qualquer valor em diferentes referenciais inerciais, mas que a menor separação espacial medida entre os dois será justamente
.
Fizeau realizou seu experimento acreditando no arrastamento parcial do éter pela matéria. Segundo essa ideia, a velocidade da luz dentro de um fluído com índice de refração n , fluindo com velocidade V , seria medida como:
onde
é o coeficiente de arrasto de Fresnel. Mostre que, dentro do contexto da relatividade, o mesmo resultado é obtido da fórmula da soma de velocidades, no limite de V/c muito pequeno.