Fizeau realizou seu experimento acreditando no arrastamento parcial do éter pela matéria. Segundo essa ideia, a velocidade da luz dentro de um fluído com índice de refração n , fluindo com velocidade V , seria medida como: v=c / n+V f onde f=1-1 / n^2 é o coeficiente de arrasto de Fresnel. Mostre que, dentro do contexto da relatividade, o mesmo resultado é obtido da fórmula da soma de velocidades, no limite de V/c muito pequeno.

Passo 1

Vamos resumir o que precisa ser feito. O exercício fala sobre o experimento de Fizeau, que envolve a velocidade da luz em um fluido que está fluindo. Queremos mostrar que, usando a teoria da relatividade, obtemos a mesma fórmula para a velocidade da luz que Fizeau propôs, especialmente quando a velocidade do fluido é muito menor que a velocidade da luz . Para isso, vamos precisar usar a fórmula da soma de velocidades na relatividade e aplicar algumas aproximações.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da soma de velocidades na teoria da relatividade. Quando temos duas velocidades v = u + V1 + uVc^2 e , a velocidade resultante é dada por:
Essa fórmula garante que nenhuma velocidade ultrapasse , a velocidade da luz no vácuo.

Passo 3

No nosso caso, queremos encontrar a velocidade da luz dentro de um fluido com índice de refração v = cn + V1 + (cn)Vc^2 = cn + V1 + Vn c que está se movendo com velocidade . A velocidade da luz no fluido, sem o movimento do fluido, é .
Então, substituindo na fórmula da soma de velocidades:

Passo 4

Como v approx ( cn + V ) ( 1 - Vn c ) é muito menor que ( ), podemos simplificar o denominador usando a aproximação quando é pequeno.
Aplicando isso:

Passo 5

Agora, vamos multiplicar os termos:
v approx cn (1 - Vn c) + V (1 - Vn c)
Desenvolvendo:
v approx cn - Vn^2 + V - V^2n c
Como v approx cn + V (1 - 1n^2) é muito menor que , os termos com são negligenciáveis:

Resposta

Assim, mostramos que, dentro da relatividade e para v = cn + V (1 - 1n^2) muito pequeno, a velocidade da luz no fluido é:

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