Fizeau realizou seu experimento acreditando no arrastamento parcial do éter pela matéria. Segundo essa ideia, a velocidade da luz dentro de um fluído com índice de refração n , fluindo com velocidade V , seria medida como:
onde
é o coeficiente de arrasto de Fresnel. Mostre que, dentro do contexto da relatividade, o mesmo resultado é obtido da fórmula da soma de velocidades, no limite de V/c muito pequeno.
Passo 1
Vamos resumir o que precisa ser feito. O exercício fala sobre o experimento de Fizeau, que envolve a velocidade da luz em um fluido que está fluindo. Queremos mostrar que, usando a teoria da relatividade, obtemos a mesma fórmula para a velocidade da luz que Fizeau propôs, especialmente quando a velocidade do fluido
é muito menor que a velocidade da luz
. Para isso, vamos precisar usar a fórmula da soma de velocidades na relatividade e aplicar algumas aproximações.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da soma de velocidades na teoria da relatividade. Quando temos duas velocidades
e
, a velocidade resultante
é dada por:
Essa fórmula garante que nenhuma velocidade ultrapasse
, a velocidade da luz no vácuo.
Passo 3
No nosso caso, queremos encontrar a velocidade da luz dentro de um fluido com índice de refração
que está se movendo com velocidade
. A velocidade da luz no fluido, sem o movimento do fluido, é
.
Então, substituindo na fórmula da soma de velocidades:
Passo 4
Como
é muito menor que
(
), podemos simplificar o denominador usando a aproximação
quando
é pequeno.
Aplicando isso:
Passo 5
Agora, vamos multiplicar os termos:
Desenvolvendo:
Como
é muito menor que
, os termos com
são negligenciáveis:
Resposta
Assim, mostramos que, dentro da relatividade e para
muito pequeno, a velocidade da luz no fluido é: