Sabendo que esse gás é constituído apenas de um tipo de molécula, estime a quantidade de átomos e faça o esboço de uma possível forma desta molécula, indicando quais modos vibracionais podem estar sendo excitados.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Nós temos um gás que é composto apenas de um tipo de molécula e nos deram os valores das capacidades térmicas a volume constante (
) e a pressão constante (
) em duas temperaturas diferentes (100 K e 180 K). Precisamos descobrir quantos átomos tem cada molécula desse gás, desenhar uma possível estrutura dessa molécula e indicar quais modos vibracionais estão sendo excitados.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, especificamente as relações entre capacidade térmica e os graus de liberdade das moléculas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a capacidade térmica a pressão constante (
) e a capacidade térmica a volume constante (
) estão relacionadas pela seguinte equação:
onde
é a constante universal dos gases, aproximadamente 8,314 J/(mol·K).
Vamos verificar se essa relação se mantém com os valores fornecidos.
Passo 3
Para a temperatura de 100 K:
Para a temperatura de 180 K:
Idealmente, a diferença deveria ser igual a
, mas vemos que há uma variação. Isso pode indicar que os graus de liberdade da molécula mudam com a temperatura, provavelmente devido à ativação de modos vibracionais em temperaturas mais altas.
Passo 4
Vamos relacionar a capacidade térmica a volume constante (
) com os graus de liberdade (
) da molécula. A relação é dada por:
Podemos rearranjar para encontrar
:
Vamos calcular
para ambas as temperaturas.
Para 100 K:
Para 180 K:
Esses valores sugerem que o número de graus de liberdade aumenta com a temperatura, provavelmente devido à ativação de modos vibracionais.
Passo 5
Agora, vamos relacionar os graus de liberdade (
) com o número de átomos por molécula (
). Para uma molécula não linear, os graus de liberdade são compostos por:
- 3 de translação
- 3 de rotação
-
de vibração
Então, temos:
Dessa forma:
Agora, podemos encontrar
:
Para 100 K:
Para 180 K:
Como o número de átomos deve ser inteiro, concluímos que cada molécula tem 3 átomos (
).
Passo 6
Com 3 átomos por molécula, uma estrutura provável é uma molécula linear ou angular. Vamos supor que seja uma molécula angular, como a água (
), que tem 3 átomos: 2 hidrogênios e 1 oxigênio.
Passo 7
Quanto aos modos vibracionais, uma molécula angular
como a água possui 3 modos vibracionais:
- Flexão (dobradiça): movimento onde os ângulos da molécula se dobram.
- Siringa: movimento onde os átomos movem-se para dentro e para fora ao longo de um eixo.
- Estiramento: movimento onde os laços químicos se alongam e encurtam.
Esses modos são os que provavelmente estão sendo excitados nas condições dadas.
Resposta
Cada molécula do gás possui 3 átomos. Uma possível estrutura é a de uma molécula angular como a água (
), que apresenta modos vibracionais de flexão, siringa e estiramento.
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