Sabendo que esse gás é constituído apenas de um tipo de molécula, estime a quantidade de átomos e faça o esboço de uma possível forma desta molécula, indicando quais modos vibracionais podem estar sendo excitados.
ccc Temperatura (K) & cV(Jmol K) & cP(Jmol K) 100 & 28,20 & 37,60 180 & 33,50 & 40,20

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Nós temos um gás que é composto apenas de um tipo de molécula e nos deram os valores das capacidades térmicas a volume constante ( ) e a pressão constante ( ) em duas temperaturas diferentes (100 K e 180 K). Precisamos descobrir quantos átomos tem cada molécula desse gás, desenhar uma possível estrutura dessa molécula e indicar quais modos vibracionais estão sendo excitados.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, especificamente as relações entre capacidade térmica e os graus de liberdade das moléculas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a capacidade térmica a pressão constante ( cP = cV + R ) e a capacidade térmica a volume constante ( ) estão relacionadas pela seguinte equação:
onde é a constante universal dos gases, aproximadamente 8,314 J/(mol·K).
Vamos verificar se essa relação se mantém com os valores fornecidos.

Passo 3

Para a temperatura de 100 K:
cP = 37,60 J/(mol·K) cV = 28,20 J/(mol·K)
cP - cV = 37,60 - 28,20 = 9,40 J/(mol·K)
Para a temperatura de 180 K:
cP = 40,20 J/(mol·K) cV = 33,50 J/(mol·K)
cP - cV = 40,20 - 33,50 = 6,70 J/(mol·K)
Idealmente, a diferença deveria ser igual a , mas vemos que há uma variação. Isso pode indicar que os graus de liberdade da molécula mudam com a temperatura, provavelmente devido à ativação de modos vibracionais em temperaturas mais altas.

Passo 4

Vamos relacionar a capacidade térmica a volume constante ( cV = f2 R ) com os graus de liberdade ( f = 2 cVR ) da molécula. A relação é dada por:
f = 2 times 28,208,314 approx 6,79
Podemos rearranjar para encontrar f = 2 times 33,508,314 approx 8,07 :
Vamos calcular para ambas as temperaturas.
Para 100 K:
Para 180 K:
Esses valores sugerem que o número de graus de liberdade aumenta com a temperatura, provavelmente devido à ativação de modos vibracionais.

Passo 5

Agora, vamos relacionar os graus de liberdade ( f = 3 + 3 + (3N - 6) = 6 + 3N - 6 = 3N ) com o número de átomos por molécula ( f = 3N ). Para uma molécula não linear, os graus de liberdade são compostos por:
  • 3 de translação
  • 3 de rotação
  • 6,79 = 3N N approx 2,26 de vibração
Então, temos:
8,07 = 3N N approx 2,69
Dessa forma:
Agora, podemos encontrar :
Para 100 K:
Para 180 K:
Como o número de átomos deve ser inteiro, concluímos que cada molécula tem 3 átomos ( ).

Passo 6

Com 3 átomos por molécula, uma estrutura provável é uma molécula linear ou angular. Vamos supor que seja uma molécula angular, como a água ( ), que tem 3 átomos: 2 hidrogênios e 1 oxigênio.

Passo 7

Quanto aos modos vibracionais, uma molécula angular como a água possui 3 modos vibracionais:
  1. Flexão (dobradiça): movimento onde os ângulos da molécula se dobram.
  2. Siringa: movimento onde os átomos movem-se para dentro e para fora ao longo de um eixo.
  3. Estiramento: movimento onde os laços químicos se alongam e encurtam.
Esses modos são os que provavelmente estão sendo excitados nas condições dadas.

Resposta

Cada molécula do gás possui 3 átomos. Uma possível estrutura é a de uma molécula angular como a água ( ), que apresenta modos vibracionais de flexão, siringa e estiramento.

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