c) Sejam dois eventos que acontecem no mesmo instante com uma separação
num dado referencial
. Mostre que a separação temporal entre esses eventos pode assumir qualquer valor em diferentes referenciais inerciais, mas que a menor separação espacial medida entre os dois será justamente
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre dois eventos que acontecem ao mesmo tempo, mas estão separados por uma distância não nula,
, em um referencial
. Vamos usar os conceitos de transformações de Lorentz da Relatividade Especial para resolver isso. Precisamos entender como o tempo e o espaço se transformam quando mudamos de um referencial para outro que está em movimento relativo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das transformações de Lorentz, que nos dizem como as coordenadas de espaço e tempo mudam entre dois referenciais inerciais que estão se movendo um em relação ao outro com velocidade constante
. As fórmulas são:
Onde:
-
e são as coordenadas no referencial . -
e são as coordenadas no referencial . -
é o fator de Lorentz. -
é a velocidade da luz.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essas transformações aos dois eventos que acontecem ao mesmo tempo em
. Como os eventos são simultâneos em
, temos
. A separação espacial é
.
Vamos calcular a separação temporal no referencial
:
Isso mostra que
depende de
, o que significa que a separação temporal entre os eventos pode variar dependendo do referencial
escolhido.
Passo 4
Agora, vamos analisar a separação espacial em
. Aplicando a transformação de Lorentz:
A expressão acima sugere que a separação espacial em
é
. Porém,
sempre, já que a velocidade
é menor que
. Isso significa que
.
Passo 5
A partir disso, vemos que a menor separação espacial ocorre quando
, ou seja, quando
. Nesse caso,
. Para qualquer outro referencial que esteja em movimento relativo a
,
, então
.
Resposta
Assim, mostramos que a separação temporal entre os dois eventos pode assumir qualquer valor dependendo do referencial inercial escolhido, já que ela depende de
. Por outro lado, a menor separação espacial medida entre os dois eventos é justamente
, ocorrendo no referencial onde os eventos são simultâneos.