c) Sejam dois eventos que acontecem no mesmo instante com uma separação De num dado referencial S. Mostre que a separação temporal entre esses eventos pode assumir qualquer valor em diferentes referenciais inerciais, mas que a menor separação espacial medida entre os dois será justamente De.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre dois eventos que acontecem ao mesmo tempo, mas estão separados por uma distância não nula, De, em um referencial S. Vamos usar os conceitos de transformações de Lorentz da Relatividade Especial para resolver isso. Precisamos entender como o tempo e o espaço se transformam quando mudamos de um referencial para outro que está em movimento relativo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das transformações de Lorentz, que nos dizem como as coordenadas de espaço e tempo mudam entre dois referenciais inerciais que estão se movendo um em relação ao outro com velocidade constante v. As fórmulas são:
t' = gamma ( t - v xc^2 )
x' = gamma (x - v t)
Onde:
  • t e x são as coordenadas no referencial S.
  • t' e x' são as coordenadas no referencial S'.
  • gamma = 1raiz1 - v^2c^2 é o fator de Lorentz.
  • c é a velocidade da luz.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essas transformações aos dois eventos que acontecem ao mesmo tempo em S. Como os eventos são simultâneos em S, temos t1 = t2 = t. A separação espacial é De.
Vamos calcular a separação temporal no referencial S':
De
De
Isso mostra que De depende de v, o que significa que a separação temporal entre os eventos pode variar dependendo do referencial S' escolhido.

Passo 4

Agora, vamos analisar a separação espacial em S'. Aplicando a transformação de Lorentz:
De
A expressão acima sugere que a separação espacial em S' é gamma De. Porém, gamma >= 1 sempre, já que a velocidade v é menor que c. Isso significa que De= De.

Passo 5

A partir disso, vemos que a menor separação espacial ocorre quando gamma = 1, ou seja, quando v = 0. Nesse caso, De. Para qualquer outro referencial que esteja em movimento relativo a S, gamma > 1, então De De.

Resposta

Assim, mostramos que a separação temporal entre os dois eventos pode assumir qualquer valor dependendo do referencial inercial escolhido, já que ela depende de v. Por outro lado, a menor separação espacial medida entre os dois eventos é justamente De, ocorrendo no referencial onde os eventos são simultâneos.

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