Quanto deve ser (em km/h) a velocidade relativa entre dois observadores, para que a diferença entre suas medidas de tempo ou espaço seja de 1 % ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pergunta qual deve ser a velocidade relativa entre dois observadores, em km/h, para que a diferença nas medidas de tempo ou espaço deles seja de 1%. Isso está relacionado com a Teoria da Relatividade Especial de Einstein, onde a velocidade afeta como o tempo e o espaço são percebidos.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que causa essa diferença de 1%. Na relatividade, isso acontece devido ao fator de Lorentz ( gamma), que é dado por:
gamma = 1raiz1 - v^2c^2
Onde:
  • v é a velocidade relativa entre os observadores.
  • c é a velocidade da luz no vácuo, aproximadamente 3 times 10^8 m/s.

Passo 3

A diferença de 1% significa que o fator de Lorentz é 1,01 (já que 1% a mais que 1). Então, temos:
gamma = 1,01 = 1raiz1 - v^2c^2

Passo 4

Vamos isolar v na equação. Primeiro, invertendo ambos os lados:
raiz1 - v^2c^2 = 11,01

Passo 5

Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
1 - v^2c^2 = (11,01)^2
1 - v^2c^2 = 11,0201

Passo 6

Isolando v^2c^2:
v^2c^2 = 1 - 11,0201
v^2c^2 = 1,0201 - 11,0201
v^2c^2 = 0,02011,0201

Passo 7

Calculando v^2c^2:
v^2c^2 approx 0,0197

Passo 8

Resolvendo para v:
v = c times raiz0,0197
v approx 3 times 10^8 , m/s times 0,1403
v approx 4,209 times 10^7 , m/s

Passo 9

Convertendo de m/s para km/h:
v approx 4,209 times 10^7 , m/s times 3600 , s1000 , m
v approx 1,515 times 10^11 , km/h

Resposta

A velocidade relativa entre os dois observadores deve ser aproximadamente 1,515 times 10^11 km/h para que a diferença nas medidas de tempo ou espaço seja de 1%.

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