(b) Encontre a direção (vetor unitário) e a magnitude da razão de variação máxima de
em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a direção e a magnitude da razão de variação máxima de
no ponto
. Isso está ligado ao conceito de gradiente em cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar calcular o vetor gradiente de
nesse ponto específico.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que o gradiente de uma função
é um vetor que contém todas as suas derivadas parciais. Ou seja,
Então, vamos calcular essas derivadas parciais no ponto
.
Passo 3
Depois de obter o vetor gradiente
, a direção da variação máxima de
é exatamente nessa direção do gradiente. Para deixar isso como um vetor unitário (ou seja, com magnitude 1), a gente normaliza o gradiente dividindo cada componente pela sua magnitude.
Passo 4
A magnitude da razão de variação máxima é simplesmente o comprimento do vetor gradiente no ponto considerado. Calculamos isso usando a fórmula:
Avalie essa expressão no ponto
para encontrar a magnitude desejada.
Resposta
A direção da variação máxima de
em
é o vetor unitário na direção do gradiente
nesse ponto. A magnitude dessa variação máxima é igual ao comprimento do gradiente
avaliado em
.