(b) Encontre a direção (vetor unitário) e a magnitude da razão de variação máxima de em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a direção e a magnitude da razão de variação máxima de no ponto . Isso está ligado ao conceito de **gradiente** em cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar calcular o **vetor gradiente** de nesse ponto específico.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que o **gradiente** de uma função é um vetor que contém todas as suas derivadas parciais. Ou seja, Então, vamos calcular essas derivadas parciais no ponto .

Passo 3

Depois de obter o vetor gradiente , a **direção da variação máxima** de é exatamente nessa direção do gradiente. Para deixar isso como um **vetor unitário** (ou seja, com magnitude 1), a gente normaliza o gradiente dividindo cada componente pela sua magnitude.

Passo 4

A **magnitude da razão de variação máxima** é simplesmente o comprimento do vetor gradiente no ponto considerado. Calculamos isso usando a fórmula: Avalie essa expressão no ponto para encontrar a magnitude desejada.

Resposta

A direção da variação máxima de em é o **vetor unitário** na direção do gradiente nesse ponto. A **magnitude** dessa variação máxima é igual ao comprimento do gradiente avaliado em .

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