(b) Encontre a direção (vetor unitário) e a magnitude da razão de variação máxima de V em (0, pi / 4).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a direção e a magnitude da razão de variação máxima de no ponto . Isso está ligado ao conceito de gradiente em cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar calcular o vetor gradiente de nesse ponto específico.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que o gradiente de uma função é um vetor que contém todas as suas derivadas parciais. Ou seja,
Então, vamos calcular essas derivadas parciais no ponto .

Passo 3

Depois de obter o vetor gradiente , a direção da variação máxima de é exatamente nessa direção do gradiente. Para deixar isso como um vetor unitário (ou seja, com magnitude 1), a gente normaliza o gradiente dividindo cada componente pela sua magnitude.

Passo 4

A magnitude da razão de variação máxima é simplesmente o comprimento do vetor gradiente no ponto considerado. Calculamos isso usando a fórmula:
Avalie essa expressão no ponto para encontrar a magnitude desejada.

Resposta

A direção da variação máxima de em é o vetor unitário na direção do gradiente nesse ponto. A magnitude dessa variação máxima é igual ao comprimento do gradiente avaliado em .

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