Em um dado instante o comprimento de um cateto de um triângulo retângulo é 6 cm e cresce à razão de e o comprimento de outro cateto é 8 cm e decresce à razão de . Encontre: (a) A razão de variação da hipotenusa do triângulo retângulo, no dado instante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de cálculo envolvendo taxas de variação. A gente está lidando com um triângulo retângulo onde um cateto está crescendo e o outro está diminuindo. Precisamos descobrir a taxa na qual a hipotenusa está mudando nesse instante específico. Para isso, vamos usar o Teorema de Pitágoras e a derivada para relacionar as taxas de variação dos lados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o Teorema de Pitágoras, que diz que em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa © é igual à soma dos quadrados dos catetos (a e b):

Passo 3

Agora, vamos diferenciar essa equação em relação ao tempo (t) para relacionar as taxas de variação:
Isso nos dá:

Passo 4

Vamos simplificar dividindo todos os termos por 2:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar os valores de a, b, , e no instante dado:
  • a = 6 cm (cateto que está crescendo)
  • b = 8 cm (cateto que está diminuindo)
  • (convertendo milímetros para centímetros)

Passo 6

Antes de substituir, precisamos encontrar o valor de c no instante dado usando o Teorema de Pitágoras:

Passo 7

Agora, substituímos todos os valores na equação simplificada:

Passo 8

Calculamos o lado direito:

Passo 9

Isolamos :

Resposta

A hipotenusa do triângulo está crescendo a uma taxa de nesse instante.

Exercícios relacionados

(3) e . Encontrar: e .
(6) Se , mostre que:
Calcule a derivada direcional da função no ponto e na direção:
(a) do eixo ;
(b) Encontre a direção (vetor unitário) e a magnitude da razão de variação máxima de em .