Em um dado instante o comprimento de um cateto de um triângulo retângulo é 6 cm e cresce à razão de
e o comprimento de outro cateto é 8 cm e decresce à razão de
. Encontre: (a) A razão de variação da hipotenusa do triângulo retângulo, no dado instante.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de cálculo envolvendo taxas de variação. A gente está lidando com um triângulo retângulo onde um cateto está crescendo e o outro está diminuindo. Precisamos descobrir a taxa na qual a hipotenusa está mudando nesse instante específico. Para isso, vamos usar o Teorema de Pitágoras e a derivada para relacionar as taxas de variação dos lados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o Teorema de Pitágoras, que diz que em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa © é igual à soma dos quadrados dos catetos (a e b):
Passo 3
Agora, vamos diferenciar essa equação em relação ao tempo (t) para relacionar as taxas de variação:
Isso nos dá:
Passo 4
Vamos simplificar dividindo todos os termos por 2:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar os valores de a, b,
, e
no instante dado:
- a = 6 cm (cateto que está crescendo)
-
- b = 8 cm (cateto que está diminuindo)
-
(convertendo milímetros para centímetros)
Passo 6
Antes de substituir, precisamos encontrar o valor de c no instante dado usando o Teorema de Pitágoras:
Passo 7
Agora, substituímos todos os valores na equação simplificada:
Passo 8
Calculamos o lado direito:
Passo 9
Isolamos
:
Resposta
A hipotenusa do triângulo está crescendo a uma taxa de
nesse instante.
Exercícios relacionados
(3)
e
. Encontrar:
e
.
(6) Se
, mostre que:
Calcule a derivada direcional da função
no ponto
e na direção:
(a) do eixo ;
(a) do eixo
(b) Encontre a direção (vetor unitário) e a magnitude da razão de variação máxima de
em
.