O estudo das integrais de linha e de superfície podem ser empregado na avaliação de trabalho realizado por campos vetoriais, por fluxos de campos entre regiões, entre outras aplicações.
Nesse contexto, considere o campo vetorial definido por:
Calcule o trabalho realizado por esse campo vetorial para movimentar um objeto do ponto até o ponto , seguindo o caminho descrito pela curva , no plano, e assinale a alternativa que apresenta o resultado correto:
Dados: fórmulas
Integrais de linha
*Lembre-se que é possível estender para o espaço cartesiano (tridimensional).
A) W=2.
B) W=1.
C) W=3 / 4.
D) W=1 / 2.
E) W=5 / 4.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um campo vetorial e queremos calcular o trabalho feito por esse campo ao mover um objeto do ponto até seguindo a curva . Vai rolar o uso de integrais de linha aqui, então vamos precisar entender como parametrizar a curva e aplicar a fórmula da integral de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva . Isso significa que vamos expressar e em função de um parâmetro, normalmente denotado por . Aqui, uma escolha simples é deixar , onde varia de 0 a 1 (já que vai de 0 a 1). Assim, . Então, podemos escrever a posição como , onde .
Passo 3
Agora, precisamos achar a derivada de dxdt = 1 e dydt = 2t em relação a , que é . Derivando cada componente:
Então, .
Passo 4
Vamos substituir F(r(t)) = (t + t^2)i + (t - t^2)j e na função do campo vetorial usando a parametrização:
Passo 5
Agora, calculamos o produto escalar (t + t^2)(1) + (t - t^2)(2t) = t + t^2 + 2t^2 - 2t^3 = t + 3t^2 - 2t^3 :
Passo 6
Por fim, integramos essa expressão de W = integral0^1 (t + 3t^2 - 2t^3) , dt a integral t , dt = 12t^2 para encontrar o trabalho integral 3t^2 , dt = t^3 :