O estudo das integrais de linha e de superfície podem ser empregado na avaliação de trabalho realizado por campos vetoriais, por fluxos de campos entre regiões, entre outras aplicações.
Nesse contexto, considere o campo vetorial definido por:
Calcule o trabalho realizado por esse campo vetorial para movimentar um objeto do ponto até o ponto , seguindo o caminho descrito pela curva , no plano, e assinale a alternativa que apresenta o resultado correto:
Dados: fórmulas
  • Integrais de linha
*Lembre-se que é possível estender para o espaço cartesiano (tridimensional).
A)
.
B)
.
C)
.
D)
.
E)
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um campo vetorial e queremos calcular o trabalho feito por esse campo ao mover um objeto do ponto até seguindo a curva . Vai rolar o uso de integrais de linha aqui, então vamos precisar entender como parametrizar a curva e aplicar a fórmula da integral de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva . Isso significa que vamos expressar e em função de um parâmetro, normalmente denotado por . Aqui, uma escolha simples é deixar , onde varia de 0 a 1 (já que vai de 0 a 1). Assim, . Então, podemos escrever a posição como , onde .

Passo 3

Agora, precisamos achar a derivada de em relação a , que é . Derivando cada componente:
Então, .

Passo 4

Vamos substituir e na função do campo vetorial usando a parametrização:

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar :

Passo 6

Por fim, integramos essa expressão de a para encontrar o trabalho :
Vamos integrar termo a termo:
Avaliado de 0 a 1:

Resposta

.

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