O estudo das integrais de linha e de superfície podem ser empregado na avaliação de trabalho realizado por campos vetoriais, por fluxos de campos entre regiões, entre outras aplicações.
Nesse contexto, considere o campo vetorial definido por:
F(x, y)=(x+y) i+(x-y) j
Calcule o trabalho W realizado por esse campo vetorial para movimentar um objeto do ponto (0,0) até o ponto (1,1), seguindo o caminho descrito pela curva y=x^2, no plano, e assinale a alternativa que apresenta o resultado correto:
Dados: fórmulas
  • Integrais de linha
r(t)=x(t) i+y(t) j, t in[a, b] integralC f(x, y) d s=integrala^b f(r(t))|r^prime(t)| d t=integrala^b f(x(t), y(t)) raiz(d xd t)^2+(d yd t)^2 d t r(t)=x(t) i+y(t) j, t in[a, b] integralC F cdot d r=integralC F(r(t)) cdot r^prime(t) d t
*Lembre-se que é possível estender para o espaço cartesiano (tridimensional).
A)
W=2.
B)
W=1.
C)
W=3 / 4.
D)
W=1 / 2.
E)
W=5 / 4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um campo vetorial e queremos calcular o trabalho feito por esse campo ao mover um objeto do ponto até seguindo a curva . Vai rolar o uso de integrais de linha aqui, então vamos precisar entender como parametrizar a curva e aplicar a fórmula da integral de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva . Isso significa que vamos expressar e em função de um parâmetro, normalmente denotado por . Aqui, uma escolha simples é deixar , onde varia de 0 a 1 (já que vai de 0 a 1). Assim, . Então, podemos escrever a posição como , onde .

Passo 3

Agora, precisamos achar a derivada de dxdt = 1 e dydt = 2t em relação a , que é . Derivando cada componente:
Então, .

Passo 4

Vamos substituir F(r(t)) = (t + t^2)i + (t - t^2)j e na função do campo vetorial usando a parametrização:

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar (t + t^2)(1) + (t - t^2)(2t) = t + t^2 + 2t^2 - 2t^3 = t + 3t^2 - 2t^3 :

Passo 6

Por fim, integramos essa expressão de W = integral0^1 (t + 3t^2 - 2t^3) , dt a integral t , dt = 12t^2 para encontrar o trabalho integral 3t^2 , dt = t^3 :
integral -2t^3 , dt = -12t^4
Vamos integrar termo a termo:
W = [12(1)^2 + (1)^3 - 12(1)^4] - [0] = 12 + 1 - 12 = 1
Avaliado de 0 a 1:

Resposta

.

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