Nos itens (a) até ( e ), encontre as derivadas parciais indicadas: f(x, y, z)=e^x cdot y cdot senh(2 z)-e^x cdot y cdot cosh (2 z) ; partial fpartial x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a derivada parcial de em relação a . Isso está no campo do cálculo diferencial, especificamente nas derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como derivar funções que têm multiplicação de termos e funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a função . Ela é composta por duas partes:
Como queremos derivar em relação a , vamos focar nos termos que envolvem .

Passo 3

Lembre-se que a derivada parcial de uma função em relação a uma variável significa que tratamos as outras variáveis como constantes. Então, e vão ser consideradas constantes quando derivarmos em relação a .

Passo 4

Vamos derivar cada termo separadamente usando a regra do produto. A regra do produto diz que a derivada de u' cdot v + u cdot v' = y cdot e^x cdot y cdot senh(2z) + e^x cdot y cdot 0 = y cdot e^x cdot y cdot senh(2z) em relação a é .
Primeiro termo:
  • (derivada da exponencial)
  • (já que é constante em relação a )
Aplicando a regra do produto:

Passo 5

Segundo termo: u' cdot v + u cdot v' = y cdot e^x cdot y cdot cosh(2z) + e^x cdot y cdot 0 = y cdot e^x cdot y cdot cosh(2z)
  • - y cdot e^x cdot y cdot cosh(2z)
Aplicando a regra do produto:
Multiplicando pelo sinal negativo:

Passo 6

Agora, juntando os dois resultados:
partial fpartial x = y cdot e^x cdot y cdot senh(2z) - y cdot e^x cdot y cdot cosh(2z)

Resposta

A derivada parcial de partial fpartial x = y cdot e^x cdot y cdot senh(2z) - y cdot e^x cdot y cdot cosh(2z) em relação a é:

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