Nos itens (a) até ( ), encontre as derivadas parciais indicadas: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a derivada parcial de em relação a . Isso está no campo do cálculo diferencial, especificamente nas derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como derivar funções que têm multiplicação de termos e funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a função . Ela é composta por duas partes:
Como queremos derivar em relação a , vamos focar nos termos que envolvem .

Passo 3

Lembre-se que a derivada parcial de uma função em relação a uma variável significa que tratamos as outras variáveis como constantes. Então, e vão ser consideradas constantes quando derivarmos em relação a .

Passo 4

Vamos derivar cada termo separadamente usando a regra do produto. A regra do produto diz que a derivada de em relação a é .
Primeiro termo:
  • (derivada da exponencial)
  • (já que é constante em relação a )
Aplicando a regra do produto:

Passo 5

Segundo termo:
Aplicando a regra do produto:
Multiplicando pelo sinal negativo:

Passo 6

Agora, juntando os dois resultados:

Resposta

A derivada parcial de em relação a é:

Exercícios relacionados

(b) Encontre a direção (vetor unitário) e a magnitude da razão de variação máxima de em .
Calcule a derivada direcional da função no ponto e na direção:
(a) do eixo ;
O estudo das integrais de linha e de superfície podem ser empregado na avaliação de trabalho realizado por campos vetoriais, por fluxos de campos entre regiões, entre outras aplicações.
Nesse contexto, considere o campo vetorial definido por:
Calcule o trabalho realizado por esse campo vetorial para movimentar um objeto do ponto até o ponto , seguindo o caminho descrito pela curva , no plano, e assinale a alternativa que apresenta o resultado correto:
Dados: fórmulas
  • Integrais de linha
*Lembre-se que é possível estender para o espaço cartesiano (tridimensional).
A)
.
B)
.
C)
.
D)
.
E)
.
Nos itens (a) até ( ), encontre as derivadas parciais indicadas: e .