Calcule a derivada direcional da função no ponto e na direção:
(a) do eixo ;

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular a derivada direcional da função no ponto na direção do eixo . Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais e vetores de direção.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos ajudam a construir o gradiente da função, que é essencial para calcular a derivada direcional.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a , denotada por :
Aplicando a regra do produto:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , denotada por :
Aqui, é tratado como uma constante em relação a :

Passo 5

Em seguida, avaliamos essas derivadas parciais no ponto :
Para :
Sabemos que e , então:
Para :

Passo 6

Agora, temos o gradiente de no ponto :

Passo 7

A direção do eixo é representada pelo vetor . Para calcular a derivada direcional, precisamos que esse vetor seja unitário. Verificamos seu comprimento:
Então, já é um vetor unitário.

Passo 8

A derivada direcional de na direção de é dada pelo produto escalar do gradiente com o vetor de direção:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção do eixo é igual a .

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Em um dado instante o comprimento de um cateto de um triângulo retângulo é 6 cm e cresce à razão de e o comprimento de outro cateto é 8 cm e decresce à razão de . Encontre: (a) A razão de variação da hipotenusa do triângulo retângulo, no dado instante.
(3) e . Encontrar: e .
(b) Encontre a direção (vetor unitário) e a magnitude da razão de variação máxima de em .
Nos itens (a) até ( ), encontre as derivadas parciais indicadas: .