Calcule a derivada direcional da função
no ponto
e na direção:
(a) do eixo
;
(a) do eixo
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular a derivada direcional da função
no ponto
na direção do eixo
. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais e vetores de direção.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos ajudam a construir o gradiente da função, que é essencial para calcular a derivada direcional.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, denotada por
:
Aplicando a regra do produto:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, denotada por
:
Aqui,
é tratado como uma constante em relação a
:
Passo 5
Em seguida, avaliamos essas derivadas parciais no ponto
:
Para
:
Sabemos que
e
, então:
Para
:
Passo 6
Agora, temos o gradiente de
no ponto
:
Passo 7
A direção do eixo
é representada pelo vetor
. Para calcular a derivada direcional, precisamos que esse vetor seja unitário. Verificamos seu comprimento:
Então,
já é um vetor unitário.
Passo 8
A derivada direcional de
na direção de
é dada pelo produto escalar do gradiente com o vetor de direção:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção do eixo
é igual a
.
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Em um dado instante o comprimento de um cateto de um triângulo retângulo é 6 cm e cresce à razão de
e o comprimento de outro cateto é 8 cm e decresce à razão de
. Encontre: (a) A razão de variação da hipotenusa do triângulo retângulo, no dado instante.
(3)
e
. Encontrar:
e
.
(b) Encontre a direção (vetor unitário) e a magnitude da razão de variação máxima de
em
.
Nos itens (a) até (
), encontre as derivadas parciais indicadas:
.