Calcule a derivada direcional da função f(x, y) = x^2 * sen(x * y) no ponto (1, pi / 2) e na direção:
(a) do eixo x;

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular a derivada direcional da função no ponto na direção do eixo . Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais e vetores de direção.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos ajudam a construir o gradiente da função, que é essencial para calcular a derivada direcional.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a , denotada por :
Aplicando a regra do produto:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , denotada por :
Aqui, é tratado como uma constante em relação a :

Passo 5

Em seguida, avaliamos essas derivadas parciais no ponto :
Para :
Sabemos que e , então:
Para :

Passo 6

Agora, temos o gradiente de no ponto :

Passo 7

A direção do eixo é representada pelo vetor . Para calcular a derivada direcional, precisamos que esse vetor seja unitário. Verificamos seu comprimento:
Então, já é um vetor unitário.

Passo 8

A derivada direcional de na direção de é dada pelo produto escalar do gradiente com o vetor de direção:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção do eixo é igual a .

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