Sejam os pontos A=(1,2,4), B=(4,6,3), C=(-2,0,5), P=(1,1,0), Q= (4,3,-1) e R=(10,1,1), e pi o plano que passa pelos pontos A, B e C. Encontre as equações paramétricas de pi. Verifique se os pontos P, Q e R pertencem a pi e se o vetor P Q é paralelo a p i.

Passo 1

Opa! Vamos resolver um exercício de geometria analítica envolvendo planos no espaço. A gente tem três pontos , e que definem um plano . Nosso objetivo é encontrar as equações paramétricas desse plano. Além disso, vamos verificar se os pontos , e estão nesse plano e se o vetor é paralelo ao plano . Para isso, vamos precisar usar conceitos de vetores, equações de planos e verificar condições de paralelismo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as equações paramétricas do plano AB = B - A = (4-1, 6-2, 3-4) = (3, 4, -1) . Para isso, precisamos de um ponto do plano e de dois vetores que estão no plano. Podemos usar o ponto AC = C - A = (-2-1, 0-2, 5-4) = (-3, -2, 1) como referência. Em seguida, vamos encontrar os vetores e :

Passo 3

Com o ponto x = x0 + u cdot a + v cdot b e os vetores y = y0 + u cdot c + v cdot d e z = z0 + u cdot e + v cdot f , podemos escrever as equações paramétricas do plano x = 1 + 3u - 3v . As equações paramétricas têm a forma:
y = 2 + 4u - 2v
z = 4 - u + v
Onde é um ponto no plano (nesse caso, ), e e são os componentes dos vetores e respectivamente. Substituindo os valores:

Passo 4

Agora, vamos verificar se os pontos 1 = 1 + 3u - 3v Rightarrow 0 = 3u - 3v Rightarrow u = v , 1 = 2 + 4u - 2v Rightarrow -1 = 4u - 2v e -1 = 4u - 2u Rightarrow -1 = 2u Rightarrow u = -12 pertencem ao plano 0 = 4 - (-12) + (-12) Rightarrow 0 = 4 + 12 - 12 = 4 . Para isso, substituímos as coordenadas de cada ponto nas equações paramétricas e verificamos se conseguimos encontrar valores de 4 = 1 + 3u - 3v Rightarrow 3 = 3u - 3v Rightarrow u - v = 1 e 3 = 2 + 4u - 2v Rightarrow 1 = 4u - 2v que satisfaçam todas as três equações simultaneamente.
Para o ponto 2u - 2v = 2 :
1 - 2 = (4u - 2v) - (2u - 2v) Rightarrow -1 = 2u Rightarrow u = -12
-1 = 4 - (-12) + (-32) Rightarrow -1 = 4 + 12 - 32 = 4 - 1 = 3
Como 10 = 1 + 3u - 3v Rightarrow 9 = 3u - 3v Rightarrow u - v = 3 , substituímos na segunda equação:
1 = 2 + 4u - 2v Rightarrow -1 = 4u - 2v
E 2u - 2v = 6 . Agora, verificamos na terceira equação:
-1 - 6 = (4u - 2v) - (2u - 2v) Rightarrow -7 = 2u Rightarrow u = -72
Isso não é verdadeiro, então 1 = 4 - (-72) + (-132) Rightarrow 1 = 4 + 72 - 132 = 4 - 3 = 1 não pertence ao plano .
Para o ponto :
Multiplicamos a primeira equação por 2:
Subtraímos da segunda equação:
E . Verificamos na terceira equação:
Isso não é verdadeiro, então não pertence ao plano .
Para o ponto :
Multiplicamos a primeira equação por 2:
Subtraímos da segunda equação:
E . Verificamos na terceira equação:
Essa igualdade é verdadeira, então pertence ao plano .

Passo 5

Por fim, vamos verificar se o vetor AB = (3, 4, -1) é paralelo ao plano AC = (-3, -2, 1) . Um vetor é paralelo a um plano se ele é perpendicular ao vetor normal do plano. Primeiro, encontramos o vetor normal ( n = AB times AC = i & j & k 3 & 4 & -1 -3 & -2 & 1 = (4 cdot 1 - (-1) cdot (-2))i - (3 cdot 1 - (-1) cdot (-3))j + (3 cdot (-2) - 4 cdot (-3))k = (4 - 2)i - (3 - 3)j + (-6 + 12)k = (2, 0, 6) ) do plano PQ = Q - P = (4-1, 3-1, -1-0) = (3, 2, -1) . Para isso, calculamos o produto vetorial dos vetores n cdot PQ = (2)(3) + (0)(2) + (6)(-1) = 6 + 0 - 6 = 0 e :
Agora, o vetor :
Para verificar o paralelismo, calculamos o produto escalar entre e :
Como o produto escalar é zero, os vetores são perpendiculares. Portanto, é perpendicular ao vetor normal, ou seja, é paralelo ao plano .

Resposta

As equações paramétricas do plano x = 1 + 3u - 3v são:
y = 2 + 4u - 2v
z = 4 - u + v
Dos pontos , e , apenas o ponto pertence ao plano . Além disso, o vetor é paralelo ao plano .

Exercícios relacionados