Sejam os pontos e , e o plano que passa pelos pontos A, B e C. Encontre as equações paramétricas de . Verifique se os pontos e pertencem a e se o vetor é paralelo a .
Passo 1
Opa! Vamos resolver um exercício de geometria analítica envolvendo planos no espaço. A gente tem três pontos , e que definem um plano . Nosso objetivo é encontrar as equações paramétricas desse plano. Além disso, vamos verificar se os pontos , e estão nesse plano e se o vetor é paralelo ao plano . Para isso, vamos precisar usar conceitos de vetores, equações de planos e verificar condições de paralelismo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as equações paramétricas do plano . Para isso, precisamos de um ponto do plano e de dois vetores que estão no plano. Podemos usar o ponto como referência. Em seguida, vamos encontrar os vetores e :
Passo 3
Com o ponto e os vetores e , podemos escrever as equações paramétricas do plano . As equações paramétricas têm a forma:
Onde é um ponto no plano (nesse caso, ), e e são os componentes dos vetores e respectivamente. Substituindo os valores:
Passo 4
Agora, vamos verificar se os pontos , e pertencem ao plano . Para isso, substituímos as coordenadas de cada ponto nas equações paramétricas e verificamos se conseguimos encontrar valores de e que satisfaçam todas as três equações simultaneamente.
Para o ponto :
Como , substituímos na segunda equação:
E . Agora, verificamos na terceira equação:
Isso não é verdadeiro, então não pertence ao plano .
Para o ponto :
Multiplicamos a primeira equação por 2:
Subtraímos da segunda equação:
E . Verificamos na terceira equação:
Isso não é verdadeiro, então não pertence ao plano .
Para o ponto :
Multiplicamos a primeira equação por 2:
Subtraímos da segunda equação:
E . Verificamos na terceira equação:
Essa igualdade é verdadeira, então pertence ao plano .
Passo 5
Por fim, vamos verificar se o vetor é paralelo ao plano . Um vetor é paralelo a um plano se ele é perpendicular ao vetor normal do plano. Primeiro, encontramos o vetor normal () do plano . Para isso, calculamos o produto vetorial dos vetores e :
Agora, o vetor :
Para verificar o paralelismo, calculamos o produto escalar entre e :
Como o produto escalar é zero, os vetores são perpendiculares. Portanto, é perpendicular ao vetor normal, ou seja, é paralelo ao plano .
Resposta
As equações paramétricas do plano são:
Dos pontos , e , apenas o ponto pertence ao plano . Além disso, o vetor é paralelo ao plano .