(b) Encontre uma equação da tangente à curva que passe pela origem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa aqui é encontrar a equação da reta tangente à curva que passa pela origem . Para isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo, como derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da tangente em um ponto específico da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar que a tangente toca a curva em algum ponto que chamaremos de . Nesse ponto, a coordenada será , então o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto. Para isso, vamos derivar a função . A derivada de é simplesmente , então a inclinação da tangente em é .

Passo 4

Com a inclinação e o ponto , podemos escrever a equação da reta tangente usando a fórmula da reta na forma ponto-inclinação:
Vamos simplificar isso para facilitar nossa vida!

Passo 5

Expandindo a equação da reta, temos:
Agora, vamos isolar o :
Fatorando , fica:

Passo 6

Sabemos que essa reta tangente deve passar pela origem . Então, vamos substituir e na equação da reta para encontrar o valor de :
Como nunca é zero, podemos dividir ambos os lados por :
Resolvendo para :

Passo 7

Agora que encontramos , vamos substituir esse valor na equação da reta tangente:
Então, a equação da reta tangente é:

Resposta

A equação da tangente à curva que passa pela origem é:

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1-50 Calcule .
1-50 Calcule .
Enuncie cada regra da derivação em símbolos:
A Regra da Potência
Determine a derivada de cada função.