(b) Encontre uma equação da tangente à curva
que passe pela origem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa aqui é encontrar a equação da reta tangente à curva
que passa pela origem
. Para isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo, como derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da tangente em um ponto específico da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar que a tangente toca a curva
em algum ponto que chamaremos de
. Nesse ponto, a coordenada
será
, então o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto. Para isso, vamos derivar a função
. A derivada de
é simplesmente
, então a inclinação da tangente em
é
.
Passo 4
Com a inclinação
e o ponto
, podemos escrever a equação da reta tangente usando a fórmula da reta na forma ponto-inclinação:
Vamos simplificar isso para facilitar nossa vida!
Passo 5
Expandindo a equação da reta, temos:
Agora, vamos isolar o
:
Fatorando
, fica:
Passo 6
Sabemos que essa reta tangente deve passar pela origem
. Então, vamos substituir
e
na equação da reta para encontrar o valor de
:
Como
nunca é zero, podemos dividir ambos os lados por
:
Resolvendo para
:
Passo 7
Agora que encontramos
, vamos substituir esse valor na equação da reta tangente:
Então, a equação da reta tangente é:
Resposta
A equação da tangente à curva
que passa pela origem é:
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1-50 Calcule
.
1-50 Calcule
.
Enuncie cada regra da derivação em símbolos:
A Regra da Potência
A Regra da Potência
Determine a derivada de cada função.