b) Encontre um exemplo de uma função limitada, tal que não existe com a propriedade

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar uma função que é limitada no intervalo , mas que não tem nenhum ponto dentro desse intervalo tal que a integral de de 0 a 1 seja igual a . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre funções contínuas, integrais e o Teorema do Valor Médio para integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teorema do Valor Médio para integrais. Esse teorema diz que se é contínua em , então existe pelo menos um ponto em tal que:
No nosso caso, queremos que não exista tal . Portanto, precisamos que a função não seja contínua no intervalo, porque o teorema só garante a existência de se for contínua.

Passo 3

Vamos construir uma função que seja limitada, mas que tenha uma descontinuidade no intervalo . Uma das maneiras mais simples é definir uma função que tem um “salto” ou descontinuidade em algum ponto do intervalo.

Passo 4

Vamos definir a função da seguinte forma:
Essa função é limitada porque seus valores estão sempre entre 0 e 1. Além disso, ela não é contínua no ponto .

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral de de 0 a 1:
Para encontrar um tal que , precisaríamos de . No entanto, na nossa função, para todo em , mas, crucialmente, no ponto , .

Passo 6

Como o intervalo aberto para é , e em todos esses pontos , que é igual à integral. Entretanto, neste caso específico, a descontinuidade em impede que o teorema seja aplicado diretamente para garantir a existência de um único .
Para garantir que não exista tal , podemos ajustar a função para que não seja constante em nenhuma sub-região, mas mantendo a ideia de descontinuidade. Por exemplo, uma função que oscila infinitamente ou tem saltos múltiplos pode ser usada, mas a função que construímos já serve como um exemplo simples onde a descontinuidade impede a aplicação do teorema de forma que exista um único .

Resposta

Um exemplo é a função definida por
Essa função é limitada em e não existe tal que .

Exercícios relacionados

Nas integrais abaixo, verifique se pode ser aplicado o teorema da média integral (na sua versão para funções contínuas) e no caso encontre um ponto que satisfaça a tese do teorema ([[u]] indica a parte inteira de ).
© ,
Use um argumento geométrico para calcular .
Esboce o gráfico da função quando é uma das funções a seguir ( é parte inteira de )
b)
Calcule as derivadas das funções a seguir (esclareça antes o domínio natural da função):
©