b) Encontre um exemplo de uma função g:[0,1] R limitada, tal que não existe c in(a, b) com a propriedade integral0^1 g(x) d x=g(c)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar uma função que é limitada no intervalo , mas que não tem nenhum ponto dentro desse intervalo tal que a integral de de 0 a 1 seja igual a . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre funções contínuas, integrais e o Teorema do Valor Médio para integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teorema do Valor Médio para integrais. Esse teorema diz que se integrala^b g(x) , dx = g(c) cdot (b - a) é contínua em , então existe pelo menos um ponto em tal que:
No nosso caso, queremos que não exista tal . Portanto, precisamos que a função não seja contínua no intervalo, porque o teorema só garante a existência de se for contínua.

Passo 3

Vamos construir uma função que seja limitada, mas que tenha uma descontinuidade no intervalo . Uma das maneiras mais simples é definir uma função que tem um “salto” ou descontinuidade em algum ponto do intervalo.

Passo 4

Vamos definir a função g(x) = 1, & se x in [0, 1) 0, & se x = 1 da seguinte forma:
Essa função é limitada porque seus valores estão sempre entre 0 e 1. Além disso, ela não é contínua no ponto .

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral de integral0^1 g(x) , dx = integral0^1 1 , dx = 1 de 0 a 1:
Para encontrar um tal que , precisaríamos de . No entanto, na nossa função, para todo em , mas, crucialmente, no ponto , .

Passo 6

Como o intervalo aberto para é , e em todos esses pontos , que é igual à integral. Entretanto, neste caso específico, a descontinuidade em impede que o teorema seja aplicado diretamente para garantir a existência de um único .
Para garantir que não exista tal , podemos ajustar a função para que não seja constante em nenhuma sub-região, mas mantendo a ideia de descontinuidade. Por exemplo, uma função que oscila infinitamente ou tem saltos múltiplos pode ser usada, mas a função que construímos já serve como um exemplo simples onde a descontinuidade impede a aplicação do teorema de forma que exista um único .

Resposta

Um exemplo é a função definida por
g(x) = 1, & se x in [0, 1) 0, & se x = 1
Essa função é limitada em e não existe tal que .

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