b) Encontre um exemplo de uma função
limitada, tal que não existe
com a propriedade
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar uma função
que é limitada no intervalo
, mas que não tem nenhum ponto
dentro desse intervalo tal que a integral de
de 0 a 1 seja igual a
. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre funções contínuas, integrais e o Teorema do Valor Médio para integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do Teorema do Valor Médio para integrais. Esse teorema diz que se
é contínua em
, então existe pelo menos um ponto
em
tal que:
No nosso caso, queremos que não exista tal
. Portanto, precisamos que a função
não seja contínua no intervalo, porque o teorema só garante a existência de
se
for contínua.
Passo 3
Vamos construir uma função
que seja limitada, mas que tenha uma descontinuidade no intervalo
. Uma das maneiras mais simples é definir uma função que tem um “salto” ou descontinuidade em algum ponto do intervalo.
Passo 4
Vamos definir a função
da seguinte forma:
Essa função é limitada porque seus valores estão sempre entre 0 e 1. Além disso, ela não é contínua no ponto
.
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral de
de 0 a 1:
Para encontrar um
tal que
, precisaríamos de
. No entanto, na nossa função,
para todo
em
, mas, crucialmente, no ponto
,
.
Passo 6
Como o intervalo aberto para
é
, e em todos esses pontos
, que é igual à integral. Entretanto, neste caso específico, a descontinuidade em
impede que o teorema seja aplicado diretamente para garantir a existência de um único
.
Para garantir que não exista tal
, podemos ajustar a função para que não seja constante em nenhuma sub-região, mas mantendo a ideia de descontinuidade. Por exemplo, uma função que oscila infinitamente ou tem saltos múltiplos pode ser usada, mas a função que construímos já serve como um exemplo simples onde a descontinuidade impede a aplicação do teorema de forma que exista um único
.
Resposta
Um exemplo é a função definida por
Essa função é limitada em
e não existe
tal que
.