b) Encontre um exemplo de uma função limitada, tal que não existe com a propriedade
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar uma função que é limitada no intervalo , mas que não tem nenhum ponto dentro desse intervalo tal que a integral de de 0 a 1 seja igual a . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre funções contínuas, integrais e o Teorema do Valor Médio para integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do Teorema do Valor Médio para integrais. Esse teorema diz que se é contínua em , então existe pelo menos um ponto em tal que:
No nosso caso, queremos que não exista tal . Portanto, precisamos que a função não seja contínua no intervalo, porque o teorema só garante a existência de se for contínua.
Passo 3
Vamos construir uma função que seja limitada, mas que tenha uma descontinuidade no intervalo . Uma das maneiras mais simples é definir uma função que tem um “salto” ou descontinuidade em algum ponto do intervalo.
Passo 4
Vamos definir a função da seguinte forma:
Essa função é limitada porque seus valores estão sempre entre 0 e 1. Além disso, ela não é contínua no ponto .
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral de de 0 a 1:
Para encontrar um tal que , precisaríamos de . No entanto, na nossa função, para todo em , mas, crucialmente, no ponto , .
Passo 6
Como o intervalo aberto para é , e em todos esses pontos , que é igual à integral. Entretanto, neste caso específico, a descontinuidade em impede que o teorema seja aplicado diretamente para garantir a existência de um único .
Para garantir que não exista tal , podemos ajustar a função para que não seja constante em nenhuma sub-região, mas mantendo a ideia de descontinuidade. Por exemplo, uma função que oscila infinitamente ou tem saltos múltiplos pode ser usada, mas a função que construímos já serve como um exemplo simples onde a descontinuidade impede a aplicação do teorema de forma que exista um único .