Nas integrais abaixo, verifique se pode ser aplicado o teorema da média integral (na sua versão para funções contínuas) e no caso encontre um ponto que satisfaça a tese do teorema ([[u]] indica a parte inteira de u ).
© integral0^2 2 x^21-x^2 d x,

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos verificar se podemos aplicar o Teorema da Média para Integrais na integral . Esse teorema diz que, se a função for contínua no intervalo considerado, existe um ponto onde a integral é igual ao valor da função nesse ponto multiplicado pelo comprimento do intervalo. Para isso, vamos precisar verificar a continuidade da função no intervalo .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função . Para aplicar o Teorema da Média para Integrais, a função precisa ser contínua em todo o intervalo de integração. Portanto, precisamos verificar onde é contínua.

Passo 3

A função 1 - x^2 = 0 implies x^2 = 1 implies x = pm 1 tem uma fração, então devemos olhar para o denominador . A função será descontínua onde o denominador for zero, pois a divisão por zero não é definida. Resolvendo a equação:

Passo 4

No intervalo , temos que é um ponto onde o denominador se anula, ou seja, não está definida em . Isso significa que a função tem uma descontinuidade no ponto .

Passo 5

Já que a função não é contínua em todo o intervalo devido à descontinuidade em , não podemos aplicar o Teorema da Média para Integrais nesse caso. O teorema exige que a função seja contínua em todo o intervalo de integração.

Resposta

Não é possível aplicar o Teorema da Média para Integrais na integral porque a função não é contínua no intervalo .

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