Nas integrais abaixo, verifique se pode ser aplicado o teorema da média integral (na sua versão para funções contínuas) e no caso encontre um ponto que satisfaça a tese do teorema ([[u]] indica a parte inteira de
).
©
,
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Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos verificar se podemos aplicar o Teorema da Média para Integrais na integral
. Esse teorema diz que, se a função for contínua no intervalo considerado, existe um ponto
onde a integral é igual ao valor da função nesse ponto multiplicado pelo comprimento do intervalo. Para isso, vamos precisar verificar a continuidade da função no intervalo
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função
. Para aplicar o Teorema da Média para Integrais, a função precisa ser contínua em todo o intervalo de integração. Portanto, precisamos verificar onde
é contínua.
Passo 3
A função
tem uma fração, então devemos olhar para o denominador
. A função será descontínua onde o denominador for zero, pois a divisão por zero não é definida. Resolvendo a equação:
Passo 4
No intervalo
, temos que
é um ponto onde o denominador se anula, ou seja,
não está definida em
. Isso significa que a função tem uma descontinuidade no ponto
.
Passo 5
Já que a função
não é contínua em todo o intervalo
devido à descontinuidade em
, não podemos aplicar o Teorema da Média para Integrais nesse caso. O teorema exige que a função seja contínua em todo o intervalo de integração.
Resposta
Não é possível aplicar o Teorema da Média para Integrais na integral
porque a função não é contínua no intervalo
.
Exercícios relacionados
Use um argumento geométrico para calcular
.
Encontre (se possível) exemplos para os casos abaixo:
d) uma função tal que
mas
.
d) uma função
b) Encontre um exemplo de uma função
limitada, tal que não existe
com a propriedade
Esboce o gráfico da função
quando
é uma das funções a seguir (
é parte inteira de
)
b)
b)