Calcule as derivadas das funções a seguir (esclareça antes o domínio natural da função):
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Passo 1

Então, a gente tem essa função aqui: . A questão pede pra gente calcular a derivada dessa função. Antes de mais nada, vamos ver qual é o domínio natural dessa função, ou seja, para quais valores de ela está bem definida. Além disso, vamos precisar lembrar como derivar uma função que é definida por uma integral, usando a regra de Leibniz.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio natural da função . A gente tem uma integral de até da função . A função está definida para todos os onde o cosseno não é zero, ou seja, , onde é qualquer inteiro.

Passo 3

Além disso, precisamos garantir que o limite de integração não coincida com esses pontos problemáticos onde não está definida. Então, deve ser tal que . Portanto, o domínio natural de é todos os reais que não fazem com que seja igual a .

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de . Para isso, usamos a regra de Leibniz para derivar integrais com limites que dependem de . A regra diz:
No nosso caso, e . A função dentro da integral é .

Passo 5

Vamos calcular cada parte:
  1. (porque 2 é uma constante)

Passo 6

Agora, aplicando a regra de Leibniz:
O segundo termo desaparece porque está multiplicado por zero.

Resposta

Portanto, a derivada da função é:

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