Calcule as derivadas das funções a seguir (esclareça antes o domínio natural da função):
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Passo 1
Então, a gente tem essa função aqui:
. A questão pede pra gente calcular a derivada dessa função. Antes de mais nada, vamos ver qual é o domínio natural dessa função, ou seja, para quais valores de
ela está bem definida. Além disso, vamos precisar lembrar como derivar uma função que é definida por uma integral, usando a regra de Leibniz.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio natural da função
. A gente tem uma integral de
até
da função
. A função
está definida para todos os
onde o cosseno não é zero, ou seja,
, onde
é qualquer inteiro.
Passo 3
Além disso, precisamos garantir que o limite de integração
não coincida com esses pontos problemáticos onde
não está definida. Então,
deve ser tal que
. Portanto, o domínio natural de
é todos os
reais que não fazem com que
seja igual a
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada de
. Para isso, usamos a regra de Leibniz para derivar integrais com limites que dependem de
. A regra diz:
No nosso caso,
e
. A função dentro da integral é
.
Passo 5
Vamos calcular cada parte:
-
-
-
-
(porque 2 é uma constante)
Passo 6
Agora, aplicando a regra de Leibniz:
O segundo termo desaparece porque está multiplicado por zero.
Resposta
Portanto, a derivada da função é: