Use um argumento geométrico para calcular
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral definida de
de 0 a 6 usando um argumento geométrico. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral e geometria, especificamente sobre áreas de figuras geométricas. Para resolver, vamos entender o que essa integral representa graficamente.
Passo 2
Primeiro, vamos interpretar a função
. Se rearranjarmos, temos
, que é a equação de um semicírculo com raio 6, centrado na origem (0,0). Isso porque
é a equação de um círculo completo, e tomando apenas a raiz quadrada de
nos dá a parte superior desse círculo.
Passo 3
A integral
representa a área sob a curva
entre
e
. Graficamente, isso corresponde à área de um quarto de círculo (um quadrante) com raio 6, já que estamos indo do centro (0) até a borda positiva (6) no eixo x.
Passo 4
Sabendo que a área de um círculo completo é
, onde
é o raio, podemos calcular a área de um quarto de círculo dividindo essa área por 4. Com
, temos:
Resposta
A integral
é igual a
.
Exercícios relacionados
Encontre (se possível) exemplos para os casos abaixo:
d) uma função tal que
mas
.
d) uma função
Encontre (se possível) exemplos para os casos abaixo:
a) uma função tal que
mas
para todo
;
a) uma função
Nas integrais abaixo, verifique se pode ser aplicado o teorema da média integral (na sua versão para funções contínuas) e no caso encontre um ponto que satisfaça a tese do teorema ([[u]] indica a parte inteira de
).
© ,
©
b) Encontre um exemplo de uma função
limitada, tal que não existe
com a propriedade