Use um argumento geométrico para calcular
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral definida de
de 0 a 6 usando um argumento geométrico. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral e geometria, especificamente sobre áreas de figuras geométricas. Para resolver, vamos entender o que essa integral representa graficamente.
Passo 2
Primeiro, vamos interpretar a função
. Se rearranjarmos, temos
, que é a equação de um semicírculo com raio 6, centrado na origem (0,0). Isso porque
é a equação de um círculo completo, e tomando apenas a raiz quadrada de
nos dá a parte superior desse círculo.
Passo 3
A integral
representa a área sob a curva
entre
e
. Graficamente, isso corresponde à área de um quarto de círculo (um quadrante) com raio 6, já que estamos indo do centro (0) até a borda positiva (6) no eixo x.
Passo 4
Sabendo que a área de um círculo completo é
, onde
é o raio, podemos calcular a área de um quarto de círculo dividindo essa área por 4. Com
, temos:
Resposta
A integral
é igual a
.