Use um argumento geométrico para calcular integral0^6 raiz36-x^2 d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral definida de raiz36 - x^2 de 0 a 6 usando um argumento geométrico. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral e geometria, especificamente sobre áreas de figuras geométricas. Para resolver, vamos entender o que essa integral representa graficamente.

Passo 2

Primeiro, vamos interpretar a função raiz36 - x^2. Se rearranjarmos, temos y = raiz36 - x^2, que é a equação de um semicírculo com raio 6, centrado na origem (0,0). Isso porque x^2 + y^2 = 36 é a equação de um círculo completo, e tomando apenas a raiz quadrada de y nos dá a parte superior desse círculo.

Passo 3

A integral integral0^6 raiz36 - x^2 , dx representa a área sob a curva y = raiz36 - x^2 entre x = 0 e x = 6. Graficamente, isso corresponde à área de um quarto de círculo (um quadrante) com raio 6, já que estamos indo do centro (0) até a borda positiva (6) no eixo x.

Passo 4

Sabendo que a área de um círculo completo é pi r^2, onde r é o raio, podemos calcular a área de um quarto de círculo dividindo essa área por 4. Com r = 6, temos:
Área do círculo comp<=to = pi times 6^2 = 36pi Áí
Área do quarto de círculo = 36pi4 = 9pi Áí

Resposta

A integral integral0^6 raiz36 - x^2 , dx é igual a 9pi.

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