Use um argumento geométrico para calcular .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral definida de de 0 a 6 usando um argumento geométrico. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral e geometria, especificamente sobre áreas de figuras geométricas. Para resolver, vamos entender o que essa integral representa graficamente.

Passo 2

Primeiro, vamos interpretar a função . Se rearranjarmos, temos , que é a equação de um semicírculo com raio 6, centrado na origem (0,0). Isso porque é a equação de um círculo completo, e tomando apenas a raiz quadrada de nos dá a parte superior desse círculo.

Passo 3

A integral representa a área sob a curva entre e . Graficamente, isso corresponde à área de um quarto de círculo (um quadrante) com raio 6, já que estamos indo do centro (0) até a borda positiva (6) no eixo x.

Passo 4

Sabendo que a área de um círculo completo é , onde é o raio, podemos calcular a área de um quarto de círculo dividindo essa área por 4. Com , temos:
Áí
Áí

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados

Encontre (se possível) exemplos para os casos abaixo:
d) uma função tal que mas .
Encontre (se possível) exemplos para os casos abaixo:
a) uma função tal que mas para todo ;
Nas integrais abaixo, verifique se pode ser aplicado o teorema da média integral (na sua versão para funções contínuas) e no caso encontre um ponto que satisfaça a tese do teorema ([[u]] indica a parte inteira de ).
© ,
b) Encontre um exemplo de uma função limitada, tal que não existe com a propriedade