Uma bola é atirada do chão para o ar. Em uma altura de 9,1 m, sua velocidade é v=(7,6 i+6,1 j) m / s, com i horizontal e j vertical para cima. Qual é a distância horizontal total que a bola percorre?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos precisar. Temos uma bola lançada do chão para o alto. Quando ela está a uma altura de 9,1,m, sua velocidade é dada pelo vetor v = (7,6,i + 6,1,j),m/s, onde i representa a direção horizontal e j a direção vertical para cima. Queremos descobrir qual é a distância horizontal total que a bola percorre durante todo o seu trajeto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento vertical (influenciado pela gravidade) e movimento horizontal (uniforme, já que não há aceleração nessa direção).

Passo 2

Primeiro, vamos focar no movimento vertical da bola. Sabemos que, a 9,1,m de altura, a componente vertical da velocidade é 6,1,m/s para cima. A gravidade atua para baixo com uma aceleração de aproximadamente 9,8,m/s^2. Vamos usar a equação da velocidade no movimento uniformemente variado (MUV):
v = v0 - g cdot t
Onde:
  • v é a velocidade final,
  • v0 é a velocidade inicial,
  • g é a aceleração da gravidade,
  • t é o tempo.

Passo 3

No ponto mais alto da trajetória, a velocidade vertical será zero. Vamos encontrar quanto tempo falta para a bola atingir esse ponto a partir da altura de 9,1,m.
0 = 6,1,m/s - 9,8,m/s^2 cdot t
Resolvendo para t:
t = 6,19,8 approx 0,622,s
Esse é o tempo que a bola ainda vai subir após estar a 9,1,m.

Passo 4

Agora, vamos calcular a altura máxima que a bola alcança após os 9,1,m. Usamos a equação da posição no MUV:
h = v0 cdot t - 12 g cdot t^2
Substituindo os valores:
h = 6,1,m/s cdot 0,622,s - 12 cdot 9,8,m/s^2 cdot (0,622,s)^2
Calculando:
h approx 3,7982,m - 1,897,m approx 1,901,m
Portanto, a altura máxima é:
9,1,m + 1,901,m = 11,001,m

Passo 5

Vamos agora calcular o tempo total que a bola vai levar para descer da altura máxima até o chão. Usamos a equação da posição para a queda livre:
h = 12 g cdot t^2
Rearranjando para t:
t = raiz2hg = raiz2 cdot 11,001,m9,8,m/s^2 approx raiz2,245 approx 1,498,s

Passo 6

Agora, somamos o tempo que falta para a bola subir até a altura máxima com o tempo que ela leva para descer:
ttotal = 0,622,s + 1,498,s approx 2,120,s

Passo 7

Finalmente, vamos calcular a distância horizontal total percorrida pela bola. Como não há aceleração na direção horizontal, a velocidade horizontal permanece constante em 7,6,m/s. Usamos a fórmula da distância no movimento uniforme (MUV):
d = vx cdot ttotal = 7,6,m/s cdot 2,120,s approx 16,112,m

Resposta

A distância horizontal total que a bola percorre é aproximadamente 16,1,metros.

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