(b) Encontre a matriz linha reduzida à forma escada que é linha equivalente a matriz ampliada do sistema.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a matriz linha reduzida à forma escada que é linha equivalente à matriz ampliada de um sistema. Isso está no conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente sobre eliminação de Gauss e redução de matrizes. Para isso, vamos usar operações elementares de linhas para transformar a matriz ampliada na sua forma reduzida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz ampliada. Ela é basicamente a matriz dos coeficientes do sistema de equações junto com a coluna dos termos constantes. Por exemplo, se temos o sistema:
A matriz ampliada seria:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a eliminação de Gauss para transformar essa matriz em uma forma escalonada. O objetivo é deixar os primeiros elementos de cada linha (chamados de pivôs) como 1 e zerar os elementos abaixo deles.
Vamos começar com a primeira coluna. Nosso primeiro pivô é o 2 na posição (1,1). Vamos transformá-lo em 1 dividindo toda a primeira linha por 2:

Passo 4

Em seguida, vamos zerar o elemento abaixo do pivô na coluna 1. Para isso, subtraímos 4 vezes a primeira linha da segunda linha:

Passo 5

Agora, observamos que a segunda linha é toda zero, o que indica que as equações são dependentes. Isso significa que o sistema tem infinitas soluções ou nenhuma, dependendo da consistência. Neste caso, como o lado direito também é zero, o sistema é compatível e indeterminado.

Resposta

A matriz linha reduzida à forma escada equivalente à matriz ampliada do sistema é:

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Para cada número real seja a matriz dada por
(b) Calcule
Nos ítens seguintes determine quais as matrizes que são inversíveis. Em caso afirmativo determine a inversa.
(i)
Mostre que a matriz real
é inversível e determine a sua inversa.
Faça o escalonamento das matrizes abaixo para obter a forma escalonada reduzida das mesmas:
(d)