Mostre que a matriz real
A=(lll 1 & 0 & 0 a & 1 & 0 b & c & 1 )
é inversível forall a, b, c in R e determine a sua inversa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz A=(lll 1 & 0 & 0 a & 1 & 0 b & c & 1 ) dada por:
Nosso objetivo é mostrar que essa matriz é inversível para qualquer reais e, depois, encontrar a sua inversa. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente determinantes e matrizes inversas.

Passo 2

Primeiro, para saber se a matriz det(A) = 1 times 1 times 1 = 1 é inversível, a gente precisa verificar se o determinante dela é diferente de zero. Se o determinante for diferente de zero, a matriz tem inversa.
Como é uma matriz triangular (todos os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são zero), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. Então, vamos calcular:
Como , isso significa que a matriz é inversível para todos os valores de reais.

Passo 3

Agora que sabemos que A times A^-1 = I é inversível, vamos encontrar a sua inversa A^-1 = (lll 1 & 0 & 0 - a & 1 & 0 a c - b & -c & 1 ) . Para matrizes triangulares com uns na diagonal, a inversa também será triangular e podemos encontrar os elementos invertendo os valores abaixo da diagonal.
Vamos montar de forma que:
Onde é a matriz identidade. Fazendo as contas, temos:

Resposta

A inversa da matriz A^-1 = (lll 1 & 0 & 0 - a & 1 & 0 a c - b & -c & 1 ) é:

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