Mostre que a matriz real
é inversível e determine a sua inversa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz dada por:
Nosso objetivo é mostrar que essa matriz é inversível para qualquer reais e, depois, encontrar a sua inversa. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente determinantes e matrizes inversas.

Passo 2

Primeiro, para saber se a matriz é inversível, a gente precisa verificar se o determinante dela é diferente de zero. Se o determinante for diferente de zero, a matriz tem inversa.
Como é uma matriz triangular (todos os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são zero), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. Então, vamos calcular:
Como , isso significa que a matriz é inversível para todos os valores de reais.

Passo 3

Agora que sabemos que é inversível, vamos encontrar a sua inversa . Para matrizes triangulares com uns na diagonal, a inversa também será triangular e podemos encontrar os elementos invertendo os valores abaixo da diagonal.
Vamos montar de forma que:
Onde é a matriz identidade. Fazendo as contas, temos:

Resposta

A inversa da matriz é:

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(b) Encontre a matriz linha reduzida à forma escada que é linha equivalente a matriz ampliada do sistema.
Para cada número real seja a matriz dada por
(b) Calcule
Faça o escalonamento das matrizes abaixo para obter a forma escalonada reduzida das mesmas:
(d)
Nos ítens seguintes determine quais as matrizes que são inversíveis. Em caso afirmativo determine a inversa.
(e)