Faça o escalonamento das matrizes abaixo para obter a forma escalonada reduzida das mesmas:
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de escalonamento de matrizes! O que a gente tem aqui é uma matriz 3x3 e precisamos transformá-la na forma escalonada reduzida. Isso tudo faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente trabalhando com matrizes e operações de linha. Para isso, vamos usar operações básicas de linha: trocar linhas, multiplicar uma linha por um número e somar múltiplos de uma linha a outra. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos anotar a matriz que precisamos escalonar:
Passo 3
O objetivo é transformar essa matriz em uma forma onde, a cada nova linha, o primeiro número não-nulo (chamado de pivô) está à direita do pivô da linha acima. Além disso, cada pivô deve ser 1 e todos os números acima e abaixo dos pivôs devem ser zero.
Vamos começar pelo pivô da primeira coluna, que já está em 1 na primeira linha. Agora, queremos zerar os números abaixo desse pivô.
Passo 4
Vamos zerar o elemento abaixo do pivô na primeira coluna, que está -2 na segunda linha. Para isso, vamos somar 2 vezes a primeira linha à segunda linha:
Calculando:
Então, a nova segunda linha fica:
Nossa matriz agora é:
Passo 5
Agora, vamos zerar o elemento abaixo do pivô na primeira coluna da terceira linha, que está 2. Para isso, vamos subtrair 2 vezes a primeira linha da terceira linha:
Calculando:
Então, a nova terceira linha fica:
Nossa matriz agora é:
Passo 6
Vamos agora focar na segunda coluna e no pivô da segunda linha, que é 1. Queremos zerar o elemento abaixo desse pivô na terceira linha, que está -3. Para fazer isso, vamos adicionar 3 vezes a segunda linha à terceira linha:
Calculando:
Então, a nova terceira linha fica:
Nossa matriz agora é:
Passo 7
Estamos quase lá! Agora, vamos garantir que cada pivô seja 1. O pivô da terceira linha já está próximo de 1, mas é 4. Vamos dividir a terceira linha por 4 para normalizar esse pivô:
Calculando:
Então, a terceira linha fica:
Nossa matriz agora é:
Passo 8
Agora, vamos ajustar as linhas acima para zerar os elementos acima do pivô da terceira coluna. Começamos pela segunda linha. Queremos zerar o 5 na segunda linha, terceira coluna. Para isso, vamos subtrair 5 vezes a terceira linha da segunda linha:
Calculando:
Então, a segunda linha fica:
Nossa matriz agora é:
Passo 9
Finalmente, vamos zerar o 2 na primeira linha, segunda coluna. Para isso, vamos subtrair 2 vezes a segunda linha da primeira linha: