Faça o escalonamento das matrizes abaixo para obter a forma escalonada reduzida das mesmas:
(d) (rrr1 & 2 & 5 -2 & -3 & -5 2 & 1 & -1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de escalonamento de matrizes! O que a gente tem aqui é uma matriz 3x3 e precisamos transformá-la na forma escalonada reduzida. Isso tudo faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente trabalhando com matrizes e operações de linha. Para isso, vamos usar operações básicas de linha: trocar linhas, multiplicar uma linha por um número e somar múltiplos de uma linha a outra. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos anotar a matriz que precisamos escalonar:
1 & 2 & 5 -2 & -3 & -5 2 & 1 & -1

Passo 3

O objetivo é transformar essa matriz em uma forma onde, a cada nova linha, o primeiro número não-nulo (chamado de pivô) está à direita do pivô da linha acima. Além disso, cada pivô deve ser 1 e todos os números acima e abaixo dos pivôs devem ser zero.
Vamos começar pelo pivô da primeira coluna, que já está em 1 na primeira linha. Agora, queremos zerar os números abaixo desse pivô.

Passo 4

Vamos zerar o elemento abaixo do pivô na primeira coluna, que está -2 na segunda linha. Para isso, vamos somar 2 vezes a primeira linha à segunda linha:
Linha 2 = Linha 2 + 2 times Linha 1
Calculando:
-2 + 2 times 1 = 0 -3 + 2 times 2 = 1 -5 + 2 times 5 = 5
Então, a nova segunda linha fica:
0 & 1 & 5
Nossa matriz agora é:
1 & 2 & 5 0 & 1 & 5 2 & 1 & -1

Passo 5

Agora, vamos zerar o elemento abaixo do pivô na primeira coluna da terceira linha, que está 2. Para isso, vamos subtrair 2 vezes a primeira linha da terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 - 2 times Linha 1
Calculando:
2 - 2 times 1 = 0 1 - 2 times 2 = -3 -1 - 2 times 5 = -11
Então, a nova terceira linha fica:
0 & -3 & -11
Nossa matriz agora é:
1 & 2 & 5 0 & 1 & 5 0 & -3 & -11

Passo 6

Vamos agora focar na segunda coluna e no pivô da segunda linha, que é 1. Queremos zerar o elemento abaixo desse pivô na terceira linha, que está -3. Para fazer isso, vamos adicionar 3 vezes a segunda linha à terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 + 3 times Linha 2
Calculando:
0 + 3 times 0 = 0 -3 + 3 times 1 = 0 -11 + 3 times 5 = 4
Então, a nova terceira linha fica:
0 & 0 & 4
Nossa matriz agora é:
1 & 2 & 5 0 & 1 & 5 0 & 0 & 4

Passo 7

Estamos quase lá! Agora, vamos garantir que cada pivô seja 1. O pivô da terceira linha já está próximo de 1, mas é 4. Vamos dividir a terceira linha por 4 para normalizar esse pivô:
Linha 3 = 14 times Linha 3
Calculando:
0 div 4 = 0 0 div 4 = 0 4 div 4 = 1
Então, a terceira linha fica:
0 & 0 & 1
Nossa matriz agora é:
1 & 2 & 5 0 & 1 & 5 0 & 0 & 1

Passo 8

Agora, vamos ajustar as linhas acima para zerar os elementos acima do pivô da terceira coluna. Começamos pela segunda linha. Queremos zerar o 5 na segunda linha, terceira coluna. Para isso, vamos subtrair 5 vezes a terceira linha da segunda linha:
Linha 2 = Linha 2 - 5 times Linha 3
Calculando:
0 - 5 times 0 = 0 1 - 5 times 0 = 1 5 - 5 times 1 = 0
Então, a segunda linha fica:
0 & 1 & 0
Nossa matriz agora é:
1 & 2 & 5 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1

Passo 9

Finalmente, vamos zerar o 2 na primeira linha, segunda coluna. Para isso, vamos subtrair 2 vezes a segunda linha da primeira linha:
Linha 1 = Linha 1 - 2 times Linha 2
Calculando:
1 - 2 times 0 = 1 2 - 2 times 1 = 0 5 - 2 times 0 = 5
Então, a primeira linha fica:
1 & 0 & 5
Nossa matriz agora é:
1 & 0 & 5 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1

Resposta

A forma escalonada reduzida da matriz dada é:
1 & 0 & 5 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1

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