(b) * Encontre as matrizes de mudança da base para a base ; da base para a base e da base para a base .

Passo 1

Beleza! A questão pede para encontrar as matrizes de mudança de base entre três bases diferentes: , e . Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente sobre mudança de base. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as coordenadas dos vetores de cada base em relação às outras bases.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a matriz de mudança da base para a base . Para isso, precisamos expressar cada vetor da base em termos dos vetores da base . Suponha que e . Cada pode ser escrito como uma combinação linear das :
Os coeficientes formam a matriz de mudança de base de para .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a matriz de mudança da base para a base . O processo é similar ao anterior. Suponha que . Expressamos cada vetor de em termos dos vetores de :
Os coeficientes formam a matriz de mudança de base de para .

Passo 4

Por fim, para encontrar a matriz de mudança da base para a base , podemos compor as duas matrizes que encontramos anteriormente. Isso significa multiplicar a matriz de mudança de para pela matriz de mudança de para :
Essa multiplicação nos dará a matriz que faz a transição direta de para .

Resposta

As matrizes de mudança de base são:
  1. Da base para a base :
  1. Da base para a base :
  1. Da base para a base :
Essa última matriz é obtida multiplicando a matriz de mudança de para pela matriz de mudança de para .

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Classifique os itens em verdadeiro ou falso. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
(b) (7 pontos) Considere o sistema linear . Se a matriz aumentada do sistema, , tem posto igual ao posto de , então o sistema é possível e determinado.
Seja a matriz:
(b) (10 pontos) Se , calcule utilizando as propriedades do determinante.
Classifique os itens em verdadeiro ou falso. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
© (7 pontos) Se e , então é inversível.
Determine se o conjunto de todas as matrizes da forma é um subespaço de .