(b) * Encontre as matrizes de mudança da base B para a base C; da base C para a base D e da base B para a base D.

Passo 1

Beleza! A questão pede para encontrar as matrizes de mudança de base entre três bases diferentes: B, C e D. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente sobre mudança de base. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as coordenadas dos vetores de cada base em relação às outras bases.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a matriz de mudança da base B para a base C. Para isso, precisamos expressar cada vetor da base B em termos dos vetores da base C. Suponha que B = b1, b2, dots, bn e C = c1, c2, dots, cn . Cada bi pode ser escrito como uma combinação linear das cj:
bi = a1i c1 + a2i c2 + dots + ani cn
Os coeficientes aji formam a matriz de mudança de base de B para C.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a matriz de mudança da base C para a base D. O processo é similar ao anterior. Suponha que D = d1, d2, dots, dn . Expressamos cada vetor de C em termos dos vetores de D:
ci = b1i d1 + b2i d2 + dots + bni dn
Os coeficientes bji formam a matriz de mudança de base de C para D.

Passo 4

Por fim, para encontrar a matriz de mudança da base B para a base D, podemos compor as duas matrizes que encontramos anteriormente. Isso significa multiplicar a matriz de mudança de C para D pela matriz de mudança de B para C:
MB to D = MC to D times MB to C
Essa multiplicação nos dará a matriz que faz a transição direta de B para D.

Resposta

As matrizes de mudança de base são:
  1. Da base B para a base C:
MB to C = a11 & a12 & dots & a1n a21 & a22 & dots & a2n vdots & vdots & ddots & vdots an1 & an2 & dots & ann
  1. Da base C para a base D:
MC to D = b11 & b12 & dots & b1n b21 & b22 & dots & b2n vdots & vdots & ddots & vdots bn1 & bn2 & dots & bnn
  1. Da base B para a base D:
MB to D = MC to D times MB to C
Essa última matriz é obtida multiplicando a matriz de mudança de C para D pela matriz de mudança de B para C.

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