Determine se o conjunto H de todas as matrizes da forma [lla & b 0 & d] é um subespaço de M2 times 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se o conjunto a & b 0 & d de todas as matrizes do tipo
é um subespaço do conjunto de todas as matrizes , que a gente chama de .
Matéria envolvida: Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais e matrizes.
O que vamos precisar: Saber o que é um subespaço e quais são os critérios para um conjunto ser um subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Para um conjunto ser um subespaço de , ele precisa satisfazer três condições:
  1. Contém a matriz zero: A matriz com todos os elementos iguais a zero deve estar no conjunto.
  2. Fechado sob adição: Se pegarmos duas matrizes do conjunto e somarmos, o resultado também deve estar no conjunto.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos qualquer matriz do conjunto por um número (escalar), o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .

Passo 3

1. Contém a matriz zero
A matriz zero em 0 & 0 0 & 0 é:
Para ela estar em , basta escolher , e . Assim, a matriz zero está no conjunto .

Passo 4

2. Fechado sob adição
Vamos pegar duas matrizes quaisquer de A = a & b 0 & d , B = a' & b' 0 & d' :
A + B = a + a' & b + b' 0 + 0 & d + d' = a + a' & b + b' 0 & d + d'
A soma dessas matrizes é:
Observamos que a posição continua sendo zero. Então, também está no conjunto .

Passo 5

3. Fechado sob multiplicação por escalar
Vamos pegar uma matriz qualquer de c cdot A = c cdot a & b 0 & d = c a & c b c cdot 0 & c d = c a & c b 0 & c d e multiplicar por um escalar :
A posição continua sendo zero após a multiplicação. Portanto, também está no conjunto .

Resposta

Como o conjunto contém a matriz zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, ele satisfaz todas as condições para ser um subespaço de . Portanto, é um subespaço de .

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