Determine se o conjunto
de todas as matrizes da forma
é um subespaço de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se o conjunto
de todas as matrizes do tipo
é um subespaço do conjunto de todas as matrizes
, que a gente chama de
.
Matéria envolvida: Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais e matrizes.
O que vamos precisar: Saber o que é um subespaço e quais são os critérios para um conjunto ser um subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Para um conjunto ser um subespaço de
, ele precisa satisfazer três condições:
- Contém a matriz zero: A matriz com todos os elementos iguais a zero deve estar no conjunto.
- Fechado sob adição: Se pegarmos duas matrizes do conjunto e somarmos, o resultado também deve estar no conjunto.
- Fechado sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos qualquer matriz do conjunto por um número (escalar), o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto
.
Passo 3
1. Contém a matriz zero
A matriz zero em
é:
Para ela estar em
, basta escolher
,
e
. Assim, a matriz zero está no conjunto
.
Passo 4
2. Fechado sob adição
Vamos pegar duas matrizes quaisquer de
:
A soma dessas matrizes é:
Observamos que a posição
continua sendo zero. Então,
também está no conjunto
.
Passo 5
3. Fechado sob multiplicação por escalar
Vamos pegar uma matriz qualquer de
e multiplicar por um escalar
:
A posição
continua sendo zero após a multiplicação. Portanto,
também está no conjunto
.
Resposta
Como o conjunto
contém a matriz zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, ele satisfaz todas as condições para ser um subespaço de
. Portanto,
é um subespaço de
.