Determine se o conjunto de todas as matrizes da forma é um subespaço de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se o conjunto de todas as matrizes do tipo
é um subespaço do conjunto de todas as matrizes , que a gente chama de .
Matéria envolvida: Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais e matrizes.
O que vamos precisar: Saber o que é um subespaço e quais são os critérios para um conjunto ser um subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Para um conjunto ser um subespaço de , ele precisa satisfazer três condições:
Contém a matriz zero: A matriz com todos os elementos iguais a zero deve estar no conjunto.
Fechado sob adição: Se pegarmos duas matrizes do conjunto e somarmos, o resultado também deve estar no conjunto.
Fechado sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos qualquer matriz do conjunto por um número (escalar), o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .
Passo 3
1. Contém a matriz zero
A matriz zero em é:
Para ela estar em , basta escolher , e . Assim, a matriz zero está no conjunto .
Passo 4
2. Fechado sob adição
Vamos pegar duas matrizes quaisquer de :
A soma dessas matrizes é:
Observamos que a posição continua sendo zero. Então, também está no conjunto .
Passo 5
3. Fechado sob multiplicação por escalar
Vamos pegar uma matriz qualquer de e multiplicar por um escalar :
A posição continua sendo zero após a multiplicação. Portanto, também está no conjunto .
Resposta
Como o conjunto contém a matriz zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, ele satisfaz todas as condições para ser um subespaço de . Portanto, é um subespaço de .