Classifique os itens em verdadeiro ou falso. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
© (7 pontos) Se e , então é inversível.

Passo 1

Primeiro, vamos entender a questão. Estamos lidando com matrizes, e o enunciado nos diz que se uma matriz satisfaz e , então é inversível. Nosso objetivo é determinar se essa afirmação é verdadeira ou falsa. Para isso, vamos precisar saber o que significa uma matriz ser inversível e o que implica a condição .

Passo 2

Uma matriz é inversível se existe outra matriz tal que , onde é a matriz identidade. Isso significa que tem uma “caminho de volta” para a identidade através da multiplicação por .

Passo 3

Agora, vamos analisar a condição . Isso significa que, quando multiplicamos por si mesma, o resultado é a própria . Matrizes que satisfazem essa condição são chamadas de matrizes idempotentes.

Passo 4

Vamos verificar se toda matriz idempotente que não é nula é necessariamente inversível. Se fosse inversível, poderíamos multiplicar ambos os lados da equação pela inversa de , obtendo:
Isso implicaria que a única matriz idempotente e inversível é a identidade.

Passo 5

Para confirmar se a afirmação é verdadeira ou falsa, vamos procurar um contra-exemplo. Considere a matriz dada por:
Essa matriz satisfaz , pois:
No entanto, não é inversível porque seu determinante é zero ( ), o que significa que não existe uma matriz tal que .

Resposta

A afirmação é falsa. A matriz satisfaz e , mas não é inversível.

Exercícios relacionados

(b) * Encontre as matrizes de mudança da base para a base ; da base para a base e da base para a base .
Classifique os itens em verdadeiro ou falso. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
(b) (7 pontos) Considere o sistema linear . Se a matriz aumentada do sistema, , tem posto igual ao posto de , então o sistema é possível e determinado.
Determine se o conjunto de todas as matrizes da forma é um subespaço de .
Determine condições sobre o parâmetro de modo que o sistema:
(b) não possua solução;