Classifique os itens em verdadeiro ou falso. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
© (7 pontos) Se
e
, então
é inversível.
© (7 pontos) Se
Passo 1
Primeiro, vamos entender a questão. Estamos lidando com matrizes, e o enunciado nos diz que se uma matriz
satisfaz
e
, então
é inversível. Nosso objetivo é determinar se essa afirmação é verdadeira ou falsa. Para isso, vamos precisar saber o que significa uma matriz ser inversível e o que implica a condição
.
Passo 2
Uma matriz
é inversível se existe outra matriz
tal que
, onde
é a matriz identidade. Isso significa que
tem uma “caminho de volta” para a identidade através da multiplicação por
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a condição
. Isso significa que, quando multiplicamos
por si mesma, o resultado é a própria
. Matrizes que satisfazem essa condição são chamadas de matrizes idempotentes.
Passo 4
Vamos verificar se toda matriz idempotente
que não é nula é necessariamente inversível. Se
fosse inversível, poderíamos multiplicar ambos os lados da equação
pela inversa de
, obtendo:
Isso implicaria que a única matriz idempotente e inversível é a identidade.
Passo 5
Para confirmar se a afirmação é verdadeira ou falsa, vamos procurar um contra-exemplo. Considere a matriz
dada por:
Essa matriz satisfaz
, pois:
No entanto,
não é inversível porque seu determinante é zero (
), o que significa que não existe uma matriz
tal que
.
Resposta
A afirmação é falsa. A matriz
satisfaz
e
, mas não é inversível.
Exercícios relacionados
(b) * Encontre as matrizes de mudança da base
para a base
; da base
para a base
e da base
para a base
.
Classifique os itens em verdadeiro ou falso. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
(b) (7 pontos) Considere o sistema linear . Se a matriz aumentada do sistema,
, tem posto igual ao posto de
, então o sistema é possível e determinado.
(b) (7 pontos) Considere o sistema linear
Determine se o conjunto
de todas as matrizes da forma
é um subespaço de
.
Determine condições sobre o parâmetro
de modo que o sistema:
(b) não possua solução;
(b) não possua solução;