(b) Encontre os pontos (x0, y0) para os quais o PVI tem solução única em algum intervalo ao qual x_0 pertence.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os pontos onde o Problema de Valor Inicial (PVI) tem solução única em algum intervalo que contenha . Basicamente, estamos trabalhando com Equações Diferenciais e queremos saber em quais pontos podemos garantir que existe apenas uma solução para a equação, partindo daquele ponto inicial. Para resolver isso, vamos precisar entender os critérios que garantem a existência e unicidade da solução, como o Teorema de Picard-Lindelöf.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual o critério para que o PVI tenha solução única. Segundo o Teorema de Picard-Lindelöf, se a função que aparece na equação diferencial é contínua em uma região ao redor do ponto e satisfaz uma condição de Lipschitz em relação a nessa região, então existe uma solução única passando por .
Matematicamente, isso significa que:
  1. é contínua em algum retângulo contendo .
  2. Existe uma constante tal que para todos na região.

Passo 3

Agora, o que isso quer dizer para o nosso problema? Queremos encontrar todos os pares onde essas duas condições são satisfeitas.
  • Continuidade de : Precisamos que a função que define a equação diferencial não tenha “pulos” ou “quebras” no entorno de .
  • Condição de Lipschitz em : Isso garante que a função não muda muito rapidamente em relação a , evitando múltiplas soluções passando pelo mesmo ponto.

Passo 4

Então, para encontrar os pontos onde o PVI tem solução única, devemos:
  1. Verificar onde é contínua: Identificar os valores de e que não causam descontinuidades na função.
  2. Verificar a condição de Lipschitz em : Muitas vezes, se a função tem derivada em relação a que é contínua, ela satisfaz a condição de Lipschitz.

Passo 5

Sem a definição específica de , não podemos identificar pontos exatos, mas podemos concluir que:
  • Todos os pontos onde é contínua e possui derivada contínua em relação a garantem que o PVI tem solução única em algum intervalo ao redor de .

Resposta

Os pontos onde o PVI tem solução única são todos aqueles onde a função é contínua e possui derivada contínua em relação a no entorno de . Assim, para cada que satisfaz essas condições, existe uma solução única do PVI em algum intervalo que contenha .

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