(b) Encontre os pontos
para os quais o PVI tem solução única em algum intervalo ao qual
pertence.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os pontos
onde o Problema de Valor Inicial (PVI) tem solução única em algum intervalo que contenha
. Basicamente, estamos trabalhando com Equações Diferenciais e queremos saber em quais pontos podemos garantir que existe apenas uma solução para a equação, partindo daquele ponto inicial. Para resolver isso, vamos precisar entender os critérios que garantem a existência e unicidade da solução, como o Teorema de Picard-Lindelöf.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual o critério para que o PVI tenha solução única. Segundo o Teorema de Picard-Lindelöf, se a função
que aparece na equação diferencial
é contínua em uma região ao redor do ponto
e satisfaz uma condição de Lipschitz em relação a
nessa região, então existe uma solução única passando por
.
Matematicamente, isso significa que:
-
é contínua em algum retângulo contendo . - Existe uma constante
tal que para todos na região.
Passo 3
Agora, o que isso quer dizer para o nosso problema? Queremos encontrar todos os pares
onde essas duas condições são satisfeitas.
-
Continuidade de
: Precisamos que a função que define a equação diferencial não tenha “pulos” ou “quebras” no entorno de . -
Condição de Lipschitz em
: Isso garante que a função não muda muito rapidamente em relação a , evitando múltiplas soluções passando pelo mesmo ponto.
Passo 4
Então, para encontrar os pontos
onde o PVI tem solução única, devemos:
-
Verificar onde
é contínua: Identificar os valores de e que não causam descontinuidades na função. -
Verificar a condição de Lipschitz em
: Muitas vezes, se a função tem derivada em relação a que é contínua, ela satisfaz a condição de Lipschitz.
Passo 5
Sem a definição específica de
, não podemos identificar pontos exatos, mas podemos concluir que:
- Todos os pontos
onde é contínua e possui derivada contínua em relação a garantem que o PVI tem solução única em algum intervalo ao redor de .
Resposta
Os pontos
onde o PVI tem solução única são todos aqueles onde a função
é contínua e possui derivada contínua em relação a
no entorno de
. Assim, para cada
que satisfaz essas condições, existe uma solução única do PVI em algum intervalo que contenha
.
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Calcular, por séries de potências, com erro inferior a 0,001, o valor das seguintes integrais:
©
Calcule a integral de linha
do campo vetorial
sobre a fronteira
do quadrado
com vértices
e
. Assuma que
esteja orientada positivamente.
Use séries de potências para obter uma aproximação, com quatro decimais, de cada uma das integrais abaixo:
Calcule o valor de
.