Calcular, por séries de potências, com erro inferior a 0,001, o valor das seguintes integrais: integral0^1 1-e^-x^2x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral usando séries de potências, garantindo que o erro fique abaixo de 0,001. Para isso, vamos usar a série de Taylor da função e integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como expandir e^-x^2 = sumn=0^infty (-x^2)^nn! = sumn=0^infty (-1)^n x^2nn! em série de potências. A série de Taylor para é . Substituindo , temos:

Passo 3

Agora, substituímos essa expansão na função que está dentro da integral:
1 - e^-x^2x^2 = 1 - sumn=0^infty (-1)^n x^2nn!x^2 = sumn=1^infty (-1)^n+1 x^2(n-1)n!
Aqui, começamos a soma de porque o termo para cancela com o 1.

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo da série de potências de integral0^1 1 - e^-x^2x^2 , dx = sumn=1^infty (-1)^n+1n! integral0^1 x^2(n - 1) , dx a integral0^1 1 - e^-x^2x^2 , dx = sumn=1^infty (-1)^n+1n! (2n - 1) :
A integral de de a é , então:

Passo 5

Vamos calcular os termos dessa soma até que o próximo termo seja menor que 0,001:
  1. 1 - 0,1667 + 0,0333 - 0,0060 = 0,8606 :
  2. :
  3. :
  4. :
  5. : (aqui o termo é menor que 0,001, então paramos)
Agora, somando os termos até :
Como o próximo termo ( ) é , que é menor que 0,001, nossa aproximação está dentro do erro desejado.

Resposta

O valor aproximado da integral é .

Exercícios relacionados

© (1,5 pt) Calcule a integral de linha integralgamma G cdot d r do campo vetorial G(x, y) sobre a fronteira gamma do quadrado Q com vértices (0,0),(1,0),(1,1) e (0,1). Assuma que gamma esteja orientada positivamente.
Calcule a integral: integral1^3 integral0^1(1+4 x y) d x d y B cdot 10
(b) Encontre os pontos (x0, y0) para os quais o PVI tem solução única em algum intervalo ao qual x_0 pertence.
Use séries de potências para obter uma aproximação, com quatro decimais, de cada uma das integrais abaixo: integral0^1 e^-x^2 / 10 d x