Calcular, por séries de potências, com erro inferior a 0,001, o valor das seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral
usando séries de potências, garantindo que o erro fique abaixo de 0,001. Para isso, vamos usar a série de Taylor da função
e integrar termo a termo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como expandir
em série de potências. A série de Taylor para
é
. Substituindo
, temos:
Passo 3
Agora, substituímos essa expansão na função que está dentro da integral:
Aqui, começamos a soma de
porque o termo para
cancela com o 1.
Passo 4
Agora, vamos integrar cada termo da série de potências de
a
:
A integral de
de
a
é
, então:
Passo 5
Vamos calcular os termos dessa soma até que o próximo termo seja menor que 0,001:
-
: -
: -
: -
: -
: (aqui o termo é menor que 0,001, então paramos)
Agora, somando os termos até
:
Como o próximo termo (
) é
, que é menor que 0,001, nossa aproximação está dentro do erro desejado.
Resposta
O valor aproximado da integral é
.
Exercícios relacionados
©
Calcule a integral de linha
do campo vetorial
sobre a fronteira
do quadrado
com vértices
e
. Assuma que
esteja orientada positivamente.
Calcule a integral:
(b) Encontre os pontos
para os quais o PVI tem solução única em algum intervalo ao qual
pertence.
Use séries de potências para obter uma aproximação, com quatro decimais, de cada uma das integrais abaixo: