©
Calcule a integral de linha
do campo vetorial
sobre a fronteira
do quadrado
com vértices
e
. Assuma que
esteja orientada positivamente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha! A questão pede para calcular a integral de linha
sobre a fronteira
de um quadrado com vértices em
,
,
e
. O conteúdo que vamos usar aqui é o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas. Vamos precisar conhecer as componentes do campo vetorial
, ou seja, as funções
e
tais que
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Esse teorema nos permite transformar uma integral de linha ao redor de uma curva fechada
em uma integral dupla sobre a região
limitada por
. A fórmula é:
Então, nosso objetivo é calcular essa integral dupla.
Passo 3
Vamos identificar as funções
e
do campo vetorial
. Supondo que
, precisamos calcular as derivadas parciais
e
.
Passo 4
Agora, configuramos a integral dupla sobre a região
. Como
é um quadrado com vértices em
,
,
e
, os limites de integração são de
a
e de
a
.
Então, a integral dupla fica:
Passo 5
Vamos calcular as derivadas parciais dentro da integral. Primeiro, encontramos
e depois
. Subtraímos essas duas derivadas conforme a fórmula do Teorema de Green.
Passo 6
Integrando a expressão resultante sobre toda a região
, obtemos o valor da integral dupla, que é igual à integral de linha que queremos calcular.
Resposta
Portanto, a integral de linha
sobre a fronteira do quadrado
é igual a:
Exercícios relacionados
Calcule a integral:
Calcular, por Séries de Potências, o valor do seguintes limites:
Calcular, por séries de potências, com erro inferior a 0,001, o valor das seguintes integrais:
(b) Encontre os pontos
para os quais o PVI tem solução única em algum intervalo ao qual
pertence.