© (1,5 pt) Calcule a integral de linha integralgamma G cdot d r do campo vetorial G(x, y) sobre a fronteira gamma do quadrado Q com vértices (0,0),(1,0),(1,1) e (0,1). Assuma que gamma esteja orientada positivamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha! A questão pede para calcular a integral de linha integralgamma G cdot d r sobre a fronteira gamma de um quadrado com vértices em (0,0), (1,0), (1,1) e (0,1). O conteúdo que vamos usar aqui é o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas. Vamos precisar conhecer as componentes do campo vetorial G(x, y), ou seja, as funções P(x,y) e Q(x,y) tais que G = (P, Q).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Esse teorema nos permite transformar uma integral de linha ao redor de uma curva fechada gamma em uma integral dupla sobre a região Q limitada por gamma. A fórmula é:
ointgamma G cdot dr = integral duplaQ ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dA
Então, nosso objetivo é calcular essa integral dupla.

Passo 3

Vamos identificar as funções P(x,y) e Q(x,y) do campo vetorial G(x, y). Supondo que G = (P, Q), precisamos calcular as derivadas parciais partial Qpartial x e partial Ppartial y.

Passo 4

Agora, configuramos a integral dupla sobre a região Q. Como Q é um quadrado com vértices em (0,0), (1,0), (1,1) e (0,1), os limites de integração são de x = 0 a x = 1 e de y = 0 a y = 1.
Então, a integral dupla fica:
integral duplaQ ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy

Passo 5

Vamos calcular as derivadas parciais dentro da integral. Primeiro, encontramos partial Qpartial x e depois partial Ppartial y. Subtraímos essas duas derivadas conforme a fórmula do Teorema de Green.

Passo 6

Integrando a expressão resultante sobre toda a região Q, obtemos o valor da integral dupla, que é igual à integral de linha que queremos calcular.

Resposta

Portanto, a integral de linha integralgamma G cdot d r sobre a fronteira do quadrado Q é igual a:
integral dupla0^1 integral dupla0^1 ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy

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