(b) Encontre a solução do problema de valor inicial dado a seguir:
onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente resolver uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A equação é:
com as condições iniciais
e
. A função
é definida por:
Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e funções não homogêneas (nesse caso,
). Vamos seguir passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a solução complementar da equação homogênea associada, ou seja:
Para isso, montamos a equação característica substituindo
por
:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
onde
,
e
. Calculando o discriminante:
Como
, as raízes são complexas:
Passo 3
Com raízes complexas
, a solução complementar é:
Substituindo
e
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa. Como
é
para
, vamos supor uma solução na forma:
Derivando
:
Substituindo
,
e
na equação diferencial:
Agrupando termos:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Resolvendo o sistema:
Da equação (1):
Substituindo na equação (2):
Então:
Portanto, a solução particular é:
Passo 5
A solução geral da equação para
é a soma da solução complementar e da solução particular:
Agora, aplicamos as condições iniciais
e
para encontrar
e
.
Para
:
Derivando
:
Para
:
Resposta
Então, a solução do problema de valor inicial para
é:
Para
, como
, a equação se torna homogênea novamente, e a solução será apenas a solução complementar com as condições ajustadas após
. Contudo, essa parte depende de continuidade e das condições em
, que não foram detalhadas aqui.
Exercícios relacionados
(b) Determine a transformada inversa de
.
(a) Mostre que a transformada de Laplace é um operador linear.
Encontre o valor das integrais duplas abaixo no retângulo
:
Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração: