(b) Encontre a solução do problema de valor inicial dado a seguir:
onde

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente resolver uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A equação é:
com as condições iniciais e . A função é definida por:
Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e funções não homogêneas (nesse caso, ). Vamos seguir passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a solução complementar da equação homogênea associada, ou seja:
Para isso, montamos a equação característica substituindo por :
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
onde , e . Calculando o discriminante:
Como , as raízes são complexas:

Passo 3

Com raízes complexas , a solução complementar é:
Substituindo e :

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa. Como é para , vamos supor uma solução na forma:
Derivando :
Substituindo , e na equação diferencial:
Agrupando termos:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Resolvendo o sistema:
Da equação (1):
Substituindo na equação (2):
Então:
Portanto, a solução particular é:

Passo 5

A solução geral da equação para é a soma da solução complementar e da solução particular:
Agora, aplicamos as condições iniciais e para encontrar e .
Para :
Derivando :
Para :

Resposta

Então, a solução do problema de valor inicial para é:
Para , como , a equação se torna homogênea novamente, e a solução será apenas a solução complementar com as condições ajustadas após . Contudo, essa parte depende de continuidade e das condições em , que não foram detalhadas aqui.

Exercícios relacionados

(b) Determine a transformada inversa de .
(a) Mostre que a transformada de Laplace é um operador linear.
Encontre o valor das integrais duplas abaixo no retângulo :
Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração: