(b) Determine a transformada inversa de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a transformada inversa de
. Isso significa que vamos transformar cada parte de
de volta para o domínio do tempo usando a transformada de Laplace inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos separar
em três termos distintos para facilitar a análise:
Passo 3
Vamos resolver cada termo separadamente começando pelo primeiro:
Termo 1:
Primeiro, completamos o quadrado no denominador:
Então, reescrevemos o numerador para se ajustar à forma padrão:
Agora, temos:
Sabemos que:
Então:
Termo 2:
Completamos o quadrado no denominador:
Reescrevemos o numerador:
Então:
Aplicando as fórmulas inversas:
Termo 3:
Reconhecemos que:
Para
e
:
Resposta
Juntando tudo, a transformada inversa de
é:
Exercícios relacionados
(a) Mostre que a transformada de Laplace é um operador linear.
Resolva a equação diferencial linear de
ordem, não-homogênea
(b) Encontre a solução do problema de valor inicial dado a seguir:
onde
Encontre o valor das integrais duplas abaixo no retângulo
: