Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral dupla de
sobre uma região específica, definida pelos limites de integração
variando de
a
e
variando de
a
. Vamos usar conhecimentos de cálculo integral, mais precisamente integrais iteradas, e também vamos esboçar a região onde essa integração acontece.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar e entender a região de integração. Para isso, precisamos analisar os limites de
em função de
.
- Para cada valor de
entre e , varia de a . - Isso significa que quando
é positivo, vai de a . - Quando
é negativo, vai de a .
Vamos desenhar isso para visualizar melhor.
Passo 3
Vamos esboçar a região:
- Desenhe o eixo
de a . - Para
: -
é uma linha que desce com inclinação . -
é uma linha que sobe com inclinação .
-
- Para
: -
é uma linha que desce com inclinação . -
é uma linha que sobe com inclinação .
-
A região delimitada por essas linhas forma um trapézio simétrico em relação ao eixo
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral dupla passo a passo. A integral é:
Vamos resolver a integral interna primeiro (em relação a
).
Passo 5
Calculando a integral interna:
Como
é considerado constante em relação a
, podemos tratar
.
Integrando em relação a
:
Passo 6
Agora, substituímos a integral interna na integral externa:
Vamos simplificar a expressão:
Perceba que
e
se comportam de forma diferente para
e
. Vamos dividir a integral em duas partes: de
a
e de
a
.
Passo 7
Dividindo a integral:
Simplificando:
Passo 8
Calculando cada parte separadamente:
Primeira parte:
Segunda parte:
Passo 9
Somando as duas partes:
Combinando os termos constantes:
Portanto, a integral total é:
Resposta
A integral dupla vale
.