Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração: integral-1^1 integral-2|x|^|x| e^x+y d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral dupla de sobre uma região específica, definida pelos limites de integração variando de a e variando de a . Vamos usar conhecimentos de cálculo integral, mais precisamente integrais iteradas, e também vamos esboçar a região onde essa integração acontece.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar e entender a região de integração. Para isso, precisamos analisar os limites de em função de .
  • Para cada valor de entre e , varia de a .
  • Isso significa que quando é positivo, vai de a .
  • Quando é negativo, vai de a .
Vamos desenhar isso para visualizar melhor.

Passo 3

Vamos esboçar a região:
  1. Desenhe o eixo de a .
  2. Para :
    • é uma linha que desce com inclinação .
    • é uma linha que sobe com inclinação .
  3. Para :
    • é uma linha que desce com inclinação .
    • é uma linha que sobe com inclinação .
A região delimitada por essas linhas forma um trapézio simétrico em relação ao eixo .

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral dupla passo a passo. A integral é:
integral-1^1 integral-2|x|^|x| e^x+y , dy , dx
Vamos resolver a integral interna primeiro (em relação a ).

Passo 5

Calculando a integral interna:
integral-2|x|^|x| e^x+y , dy
Como e^x integral-2|x|^|x| e^y , dy = e^x [ e^y ]-2|x|^|x| = e^x ( e^|x| - e^-2|x| ) é considerado constante em relação a , podemos tratar .
Integrando em relação a :

Passo 6

Agora, substituímos a integral interna na integral externa:
integral-1^1 e^x ( e^|x| - e^-2|x| ) , dx
Vamos simplificar a expressão:
integral-1^1 ( e^x + |x| - e^x - 2|x| ) , dx
Perceba que e se comportam de forma diferente para e . Vamos dividir a integral em duas partes: de a e de a .

Passo 7

Dividindo a integral:
integral-1^0 ( e^x - x - e^x + 2x ) , dx + integral0^1 ( e^x + x - e^x - 2x ) , dx
Simplificando:
integral-1^0 ( e^0 - e^3x ) , dx + integral0^1 ( e^2x - e^-x ) , dx
integral-1^0 ( 1 - e^3x ) , dx + integral0^1 ( e^2x - e^-x ) , dx

Passo 8

Calculando cada parte separadamente:
Primeira parte:
integral-1^0 1 , dx - integral-1^0 e^3x , dx = [x]-1^0 - [ e^3x3 ]-1^0 = (0 - (-1)) - ( 13 - e^-33 ) = 1 - 1 - e^-33 = 23 + e^-33
Segunda parte:
integral0^1 e^2x , dx - integral0^1 e^-x , dx = [ e^2x2 ]0^1 - [ -e^-x ]0^1 = ( e^22 - 12 ) - ( -e^-1 + 1 ) = e^2 - 12 + e^-1 - 1

Passo 9

Somando as duas partes:
( 23 + e^-33 ) + ( e^2 - 12 + e^-1 - 1 ) = 23 + e^-33 + e^22 - 12 + e^-1 - 1
Combinando os termos constantes:
23 - 12 - 1 = 46 - 36 - 66 = -56
Portanto, a integral total é:
e^22 + e^-1 + e^-33 - 56

Resposta

A integral dupla vale .

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