(a) Mostre que a transformada de Laplace é um operador linear.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Queremos mostrar que a transformada de Laplace é um operador linear. Isso está dentro do estudo de transformadas integrais, especificamente a transformada de Laplace. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um operador linear e como a transformada de Laplace funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um operador linear. Um operador é linear se, para quaisquer funções e , e para quaisquer constantes e , ele satisfaz duas propriedades:
  1. Adição:
  2. Homogeneidade:
Essas propriedades garantem que o operador preserve a estrutura linear das funções.

Passo 3

Agora, vamos considerar a transformada de Laplace como nosso operador . A transformada de Laplace de uma função é definida por:
Queremos mostrar que essa operação satisfaz as duas propriedades de um operador linear.

Passo 4

Primeiro, vamos verificar a adição. Calculamos a transformada de Laplace da soma de duas funções:

Passo 5

Agora, usando a propriedade distributiva da integral, podemos separar a integral em duas partes:
Isso nos dá:
Então, a propriedade de adição está satisfeita.

Passo 6

Agora, vamos verificar a homogeneidade. Calculamos a transformada de Laplace de uma função multiplicada por uma constante :

Passo 7

Como é uma constante, podemos tirar ela de fora da integral:
Isso nos dá:
Portanto, a propriedade de homogeneidade também está satisfeita.

Resposta

Como a transformada de Laplace satisfaz tanto a propriedade de adição quanto a de homogeneidade, podemos concluir que a transformada de Laplace é um operador linear.

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