(a) Mostre que a transformada de Laplace é um operador linear.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Queremos mostrar que a transformada de Laplace é um operador linear. Isso está dentro do estudo de transformadas integrais, especificamente a transformada de Laplace. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um operador linear e como a transformada de Laplace funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um operador linear. Um operador
é linear se, para quaisquer funções
e
, e para quaisquer constantes
e
, ele satisfaz duas propriedades:
- Adição:
- Homogeneidade:
Essas propriedades garantem que o operador preserve a estrutura linear das funções.
Passo 3
Agora, vamos considerar a transformada de Laplace como nosso operador
. A transformada de Laplace de uma função
é definida por:
Queremos mostrar que essa operação satisfaz as duas propriedades de um operador linear.
Passo 4
Primeiro, vamos verificar a adição. Calculamos a transformada de Laplace da soma de duas funções:
Passo 5
Agora, usando a propriedade distributiva da integral, podemos separar a integral em duas partes:
Isso nos dá:
Então, a propriedade de adição está satisfeita.
Passo 6
Agora, vamos verificar a homogeneidade. Calculamos a transformada de Laplace de uma função multiplicada por uma constante
:
Passo 7
Como
é uma constante, podemos tirar ela de fora da integral:
Isso nos dá:
Portanto, a propriedade de homogeneidade também está satisfeita.
Resposta
Como a transformada de Laplace satisfaz tanto a propriedade de adição quanto a de homogeneidade, podemos concluir que a transformada de Laplace é um operador linear.
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.
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onde