Encontre o valor das integrais duplas abaixo no retângulo R=[0,1] times[0,1] : integral duplaR y e^x y d A

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que está no retângulo R = [0,1] times [0,1]. A matéria aqui é cálculo integral, mais especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como calcular integrais em duas variáveis e escolher a melhor ordem de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está sendo integrado: y e^x y. Como estamos em um retângulo, os limites para x e y são fáceis de definir, ambos vão de 0 a 1. Vamos decidir integrar primeiro em relação a x e depois em relação a y.

Passo 3

Vamos calcular a integral interna, que é em relação a x:
integral0^1 y e^x y , dx
Aqui, y é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a x. A integral de e^x y em relação a x é 1y e^x y, então temos:
y [ 1y e^x y ]0^1 = y ( 1y e^y - 1y e^0 ) = y ( e^y - 1y ) = e^y - 1

Passo 4

Agora, vamos integrar o resultado em relação a y:
integral0^1 (e^y - 1) , dy
A integral de e^y é e^y e a de 1 é y, então:
[ e^y - y ]0^1 = (e^1 - 1) - (e^0 - 0) = (e - 1) - (1 - 0) = e - 2

Resposta

O valor da integral dupla é e - 2.

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