Verifique que B=(raiz22, raiz22),(-raiz22, raiz22) é uma base ortonornal e admitindo as coordenadas 0, u, v em relação a esta nova base (isto é o eixo u está na direção e sentido de (raiz22, raiz22), bem como o eixo v está na direção e sentido de (-raiz22, raiz22) ), encontre a equação da reta y-x=1 em relação a este novo sistema de coordenadas u v e faça um esboço desta reta.
Sugestão: Observe que
1=y-x=[ll -1 & 1 ][l x y ]C
e que [v]C=[M]C^B[v]B
Esta lista poderá conter alterações adicionais de exercícios. Bons estudos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se o conjunto B=(raiz22, raiz22),(-raiz22, raiz22) é uma base ortonormal. Depois, com essa nova base, precisamos achar a equação da reta y - x = 1 no sistema de coordenadas uv. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é base ortonormal, como mudar de base e como converter a equação da reta para a nova base.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se B é uma base ortonormal. Uma base é ortonormal se os vetores são unitários (têm comprimento 1) e são mutuamente ortogonais (o produto interno entre eles é zero).
Vamos calcular o comprimento de cada vetor:
|(raiz22, raiz22)| = raiz(raiz22)^2 + (raiz22)^2 = raiz24 + 24 = raiz1 = 1
|(-raiz22, raiz22)| = raiz(-raiz22)^2 + (raiz22)^2 = raiz24 + 24 = raiz1 = 1
Ambos os vetores têm comprimento 1. Agora, vamos verificar a ortogonalidade:
(raiz22, raiz22) cdot (-raiz22, raiz22) = (raiz22)(-raiz22) + (raiz22)(raiz22) = -24 + 24 = 0
Como os vetores são unitários e ortogonais, B é uma base ortonormal.

Passo 3

Agora, vamos mudar as coordenadas do sistema para a base B. Isso significa que o eixo u está na direção de (raiz22, raiz22) e o eixo v está na direção de (-raiz22, raiz22).
Para fazer isso, precisamos expressar os vetores padrão (x, y) em termos dos novos eixos u e v. Como a base é ortonormal, a mudança de coordenadas é simples: as coordenadas (u, v) são dadas pelas projeções de (x, y) nos vetores da base.
Matematicamente, podemos escrever:
u v = B^T x y
Onde B^T é a transposta da matriz da base B.

Passo 4

Vamos montar a matriz B e sua transposta:
B = raiz22 & -raiz22 raiz22 & raiz22 , B^T = raiz22 & raiz22 -raiz22 & raiz22
Então, a relação entre as coordenadas é:
u v = raiz22 & raiz22 -raiz22 & raiz22 x y
Isso nos dá:
u = raiz22x + raiz22y
v = -raiz22x + raiz22y

Passo 5

Agora, precisamos expressar a equação da reta y - x = 1 em termos das novas coordenadas u e v. Vamos substituir x e y pelas expressões em termos de u e v.
Primeiro, vamos resolver as equações anteriores para x e y:
Multiplicando ambas as equações por raiz22 e somando:
u + v = raiz22x + raiz22y - raiz22x + raiz22y = raiz2y Rightarrow y = u + vraiz2
Multiplicando ambas as equações por raiz22 e subtraindo:
u - v = raiz22x + raiz22y + raiz22x - raiz22y = raiz2x Rightarrow x = u - vraiz2

Passo 6

Agora, substituímos x e y na equação da reta:
y - x = 1 Rightarrow u + vraiz2 - u - vraiz2 = 1
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por u + v - u + vraiz2 = 1 Rightarrow 2vraiz2 =1 Rightarrow 2vraiz2 =1 :
raiz2

Resposta

A equação da reta y - x = 1 no novo sistema de coordenadas uv é v = raiz22. Para esboçar, basta traçar uma reta paralela ao eixo u interceptando o eixo v no ponto raiz22.

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