Verifique que é uma base ortonornal e admitindo as coordenadas em relação a esta nova base (isto é o eixo está na direção e sentido de , bem como o eixo está na direção e sentido de ), encontre a equação da reta em relação a este novo sistema de coordenadas faça um esboço desta reta.
Sugestão: Observe que
e que
Esta lista poderá conter alterações adicionais de exercícios. Bons estudos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se o conjunto é uma base ortonormal. Depois, com essa nova base, precisamos achar a equação da reta no sistema de coordenadas . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é base ortonormal, como mudar de base e como converter a equação da reta para a nova base.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se é uma base ortonormal. Uma base é ortonormal se os vetores são unitários (têm comprimento 1) e são mutuamente ortogonais (o produto interno entre eles é zero).
Como os vetores são unitários e ortogonais, B é uma base ortonormal.
Passo 3
Agora, vamos mudar as coordenadas do sistema para a base B. Isso significa que o eixo u está na direção de (raiz22, raiz22) e o eixo v está na direção de (-raiz22, raiz22).
Para fazer isso, precisamos expressar os vetores padrão (x, y) em termos dos novos eixos u e v. Como a base é ortonormal, a mudança de coordenadas é simples: as coordenadas (u, v) são dadas pelas projeções de (x, y) nos vetores da base.
Agora, precisamos expressar a equação da reta y - x = 1 em termos das novas coordenadas u e v. Vamos substituir x e y pelas expressões em termos de u e v.
Primeiro, vamos resolver as equações anteriores para x e y:
Multiplicando ambas as equações por raiz22 e somando:
u + v = raiz22x + raiz22y - raiz22x + raiz22y = raiz2y Rightarrow y = u + vraiz2
Multiplicando ambas as equações por raiz22 e subtraindo:
u - v = raiz22x + raiz22y + raiz22x - raiz22y = raiz2x Rightarrow x = u - vraiz2
Passo 6
Agora, substituímos x e y na equação da reta:
y - x = 1 Rightarrow u + vraiz2 - u - vraiz2 = 1
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por u + v - u + vraiz2 = 1 Rightarrow 2vraiz2 =1 Rightarrow 2vraiz2 =1 :
raiz2
Resposta
A equação da reta y - x = 1 no novo sistema de coordenadas uv é v = raiz22. Para esboçar, basta traçar uma reta paralela ao eixo u interceptando o eixo v no ponto raiz22.