(b) - : Esboce a região delimitada pelas curvas e e encontre sua área.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que esboçar a região delimitada pelas curvas e e descobrir a área dessa região. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica e cálculo, especificamente integrais para encontrar áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como são essas curvas. Ambas são parábolas que abrem para a direita, já que estão na forma algo em . O gráfico de é uma parábola mais “aberta”, enquanto é uma parábola “mais fechada” e deslocada para a direita.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os pontos onde essas curvas se interceptam. Para isso, igualamos as duas equações:
Resolvendo:
Substituindo em uma das equações para achar :
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 4

Para calcular a área entre as curvas, vamos integrar a diferença entre as funções que delimitam a região. Primeiro, expressamos as funções de em termos de :
A área entre duas curvas verticalmente alinhadas (como essas parábolas) pode ser calculada integrando a diferença das funções de cima menos a de baixo em relação a .

Passo 5

Vamos configurar a integral. Primeiro, observamos que a região vai de a . A função da direita é e a da esquerda é . A área é então:
Calculamos a integral:

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é unidades de área.

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(a) - (1,5): A função aceleração ) e a velocidade inicial são dadas para uma partícula movendo-se ao longo de uma reta. Encontre a velocidade no instante e a distância percorrida durante o intervalo de tempo dado.
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Calcule a integral
e interprete-a como a área de uma região. Esboce a região.
Encontre a equação da reta tangente a curva parametrizada no ponto fornecido:
(a) e em .