(b) -
: Esboce a região delimitada pelas curvas
e
e encontre sua área.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que esboçar a região delimitada pelas curvas
e
e descobrir a área dessa região. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica e cálculo, especificamente integrais para encontrar áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como são essas curvas. Ambas são parábolas que abrem para a direita, já que estão na forma
algo em
. O gráfico de
é uma parábola mais “aberta”, enquanto
é uma parábola “mais fechada” e deslocada para a direita.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os pontos onde essas curvas se interceptam. Para isso, igualamos as duas equações:
Resolvendo:
Substituindo
em uma das equações para achar
:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 4
Para calcular a área entre as curvas, vamos integrar a diferença entre as funções que delimitam a região. Primeiro, expressamos as funções de
em termos de
:
A área entre duas curvas verticalmente alinhadas (como essas parábolas) pode ser calculada integrando a diferença das funções de cima menos a de baixo em relação a
.
Passo 5
Vamos configurar a integral. Primeiro, observamos que a região vai de
a
. A função da direita é
e a da esquerda é
. A área
é então:
Calculamos a integral:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas é
unidades de área.
Exercícios relacionados
(a) - (1,5): A função aceleração
) e a velocidade inicial são dadas para uma partícula movendo-se ao longo de uma reta. Encontre a velocidade no instante e a distância percorrida durante o intervalo de tempo dado.
©
Calcule a integral
e interprete-a como a área de uma região. Esboce a região.
Encontre a equação da reta tangente a curva parametrizada no ponto fornecido:
(a) e
em
.
(a)