(a) - (1,5): A função aceleração em m/s^2 ) e a velocidade inicial são dadas para uma partícula movendo-se ao longo de uma reta. Encontre a velocidade no instante e a distância percorrida durante o intervalo de tempo dado.
a(t) = (1 + raiz(cubica(t + 1))) / raiz(t + 1), v(0) = 5, 0 <= t <= 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema de cinemática, que é parte da física que estuda o movimento. A gente recebeu a função de aceleração (em metros por segundo ao quadrado) e a velocidade inicial . Nosso objetivo é encontrar a velocidade no instante e a distância percorrida durante o intervalo de tempo de a segundo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade no instante . Sabemos que a velocidade é a integral da aceleração em relação ao tempo. Ou seja:
Aqui, é a velocidade inicial.
Vamos calcular a integral:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Agora, integramos cada termo separadamente:
Então, a integral total é:
Calculando de a :
Agora, calculando os valores numéricos aproximados:
Substituindo:
Então, a velocidade no instante é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância percorrida no intervalo de a segundo. A distância é a integral da velocidade em relação ao tempo:
Já sabemos que a integral da aceleração. Baseado no que calculamos anteriormente para , usamos a função integrada:
Então, a integral da velocidade será:
Simplificando:
Integrando cada termo:
Então:
Calculando de a :

Resposta

A velocidade no instante é aproximadamente 6,77 m/s e a distância percorrida durante o intervalo de tempo de 0 a 1 segundo é aproximadamente 6,80 metros.

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