Encontre a equação da reta tangente a curva parametrizada no ponto fornecido:
(a) e em .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva parametrizada pelas funções e no ponto onde e . Esse problema está relacionado ao cálculo diferencial, especificamente ao uso de derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto na curva correspondente a . Para isso, substituímos nas equações de e :
Então, o ponto em questão é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto. Para curvas parametrizadas, a inclinação da tangente é dada por , que pode ser calculada como:
Vamos calcular e .

Passo 4

Calculando :
Para :

Passo 5

Calculando :
Para :

Passo 6

Agora, podemos calcular :
Então, a inclinação da reta tangente no ponto é .

Passo 7

Com a inclinação e o ponto , podemos usar a fórmula da reta:
Substituindo os valores:

Passo 8

Isolando :

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto dado é .

Exercícios relacionados

Calcule a integral
e interprete-a como a área de uma região. Esboce a região.
(b) - : Esboce a região delimitada pelas curvas e e encontre sua área.
Calcule a integral de linha onde é a curva dada:
, onde é a metade direita do círculo .
Use o Teorema do Divergente (Gauss) para calcular onde:
(a) onde é a superfície do cubo limitado pelos planos .