Encontre a equação da reta tangente a curva parametrizada no ponto fornecido:
(a)
e
em
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva parametrizada pelas funções
e
no ponto onde
e
. Esse problema está relacionado ao cálculo diferencial, especificamente ao uso de derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto na curva correspondente a
. Para isso, substituímos
nas equações de
e
:
Então, o ponto em questão é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto. Para curvas parametrizadas, a inclinação da tangente é dada por
, que pode ser calculada como:
Vamos calcular
e
.
Passo 4
Calculando
:
Para
:
Passo 5
Calculando
:
Para
:
Passo 6
Agora, podemos calcular
:
Então, a inclinação da reta tangente no ponto
é
.
Passo 7
Com a inclinação
e o ponto
, podemos usar a fórmula da reta:
Substituindo os valores:
Passo 8
Isolando
:
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto dado é
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral
e interprete-a como a área de uma região. Esboce a região.
(b) -
: Esboce a região delimitada pelas curvas
e
e encontre sua área.
Calcule a integral de linha onde
é a curva dada:
, onde
é a metade direita do círculo
.
Use o Teorema do Divergente (Gauss) para calcular
onde:
(a) onde
é a superfície do cubo limitado pelos planos
.
(a)