© -(1,0): integral x^5 raizx^2+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular . Isso está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo potências de e funções radicais. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para facilitar o cálculo. Observamos que dentro da raiz temos u = x^2 + 1 . Vamos definir:
du = 2x , dx Rightarrow du2 = x , dx
Agora, vamos calcular a derivada de em relação a :
Isso nos permite substituir partes da integral em termos de .

Passo 3

Vamos reescrever a integral original usando a substituição que fizemos. A integral original é:
integral x^5 raizx^2+1 , dx
Como x^5 = x^4 cdot x = (x^2)^2 cdot x = (u - 1)^2 cdot x , podemos expressar integral x^5 raizx^2+1 , dx = integral (u - 1)^2 cdot x cdot raizu , dx da seguinte forma:
= integral (u - 1)^2 cdot raizu cdot du2
Agora, substituímos = 12 integral (u - 1)^2 cdot u^1/2 , du e :
Usando , substituímos :
Podemos simplificar isso colocando a constante fora da integral:

Passo 4

Agora, vamos expandir (u - 1)^2 = u^2 - 2u + 1 para facilitar a integração:
12 integral (u^2 - 2u + 1) cdot u^1/2 , du
Substituímos de volta na integral:
= 12 integral ( u^2 + 1/2 - 2u^1 + 1/2 + u^0 + 1/2 ) , du
Distribuindo = 12 integral ( u^5/2 - 2u^3/2 + u^1/2 ) , du dentro dos parênteses:
Simplificando os expoentes:

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo:
12 [ u^7/27/2 - 2 cdot u^5/25/2 + u^3/23/2 ] + C
Simplificando as frações:
= 12 ( 27 u^7/2 - 45 u^5/2 + 23 u^3/2 ) + C
Distribuindo o = 17 u^7/2 - 25 u^5/2 + 13 u^3/2 + C :

Passo 6

Finalmente, substituímos = 17 (x^2 + 1)^7/2 - 25 (x^2 + 1)^5/2 + 13 (x^2 + 1)^3/2 + C de volta na expressão:

Resposta

A integral 17 (x^2 + 1)^7/2 - 25 (x^2 + 1)^5/2 + 13 (x^2 + 1)^3/2 + C é igual a:

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