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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular
. Isso está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo potências de
e funções radicais. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para facilitar o cálculo. Observamos que dentro da raiz temos
. Vamos definir:
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Isso nos permite substituir partes da integral em termos de
.
Passo 3
Vamos reescrever a integral original usando a substituição que fizemos. A integral original é:
Como
, podemos expressar
da seguinte forma:
Agora, substituímos
e
:
Usando
, substituímos
:
Podemos simplificar isso colocando a constante fora da integral:
Passo 4
Agora, vamos expandir
para facilitar a integração:
Substituímos de volta na integral:
Distribuindo
dentro dos parênteses:
Simplificando os expoentes:
Passo 5
Agora, vamos integrar termo a termo:
Simplificando as frações:
Distribuindo o
:
Passo 6
Finalmente, substituímos
de volta na expressão:
Resposta
A integral
é igual a:
Exercícios relacionados
(a) - (1,0):
(b)
(a) - (1,5): A função aceleração
) e a velocidade inicial são dadas para uma partícula movendo-se ao longo de uma reta. Encontre a velocidade no instante e a distância percorrida durante o intervalo de tempo dado.
(b) -
: Esboce a região delimitada pelas curvas
e
e encontre sua área.