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Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular . Isso está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo potências de e funções radicais. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para facilitar o cálculo. Observamos que dentro da raiz temos . Vamos definir:
Agora, vamos calcular a derivada de em relação a :
Isso nos permite substituir partes da integral em termos de .

Passo 3

Vamos reescrever a integral original usando a substituição que fizemos. A integral original é:
Como , podemos expressar da seguinte forma:
Agora, substituímos e :
Usando , substituímos :
Podemos simplificar isso colocando a constante fora da integral:

Passo 4

Agora, vamos expandir para facilitar a integração:
Substituímos de volta na integral:
Distribuindo dentro dos parênteses:
Simplificando os expoentes:

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo:
Simplificando as frações:
Distribuindo o :

Passo 6

Finalmente, substituímos de volta na expressão:

Resposta

A integral é igual a:

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(a) - (1,0):
(b)
(a) - (1,5): A função aceleração ) e a velocidade inicial são dadas para uma partícula movendo-se ao longo de uma reta. Encontre a velocidade no instante e a distância percorrida durante o intervalo de tempo dado.
(b) - : Esboce a região delimitada pelas curvas e e encontre sua área.